Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ | 2^{x}-2| \le 3^{x}}\)

2) \(\displaystyle{ 3 \cdot \left( \frac{1}{9} \right) ^{|x|-1}+1 \ge 28 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{|x|}}\)

1. rozważ dwa przypadki
2. zamień wszystkie potęgi na potęgi o podstawie 3

Próbowałam tak robić ale w 1) nie wiem co zrobic z tą 2 a w 3) pozamienialam to na potegi 3 ale pozniej nie wiem jak to pogrupowac zeby to mozna bylo porownac

przedstaw zatem postać którą udało Ci się otrzymać

1) \(\displaystyle{ 2^{x}-2 \le 3^{x} \vee 2^{x}-2 \ge - 3^{x}}\)

2) \(\displaystyle{ 3 ^{-2|x|+3}+1 \ge 28 \cdot 3 ^{-|x|}}\)

pierwsze moim zdaniem łatwiej zrobić graficznie od samego początku
drugie:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{3} \right)^{|x|} = t}\)
i rozwiązujemy zwykłą nierówność kwadratową:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 9 \cdot t^{2} \ge 28 \cdot t}\)

1. Niestety nie widzę innej możliwości niż rozwiązanie graficzne. Wykonaj rysunki wykresów tych funkcji.

2. otrzymane równanie jest drugiego stopnia ze względu na \(\displaystyle{ 3^{-|x|}}\)

1) \(\displaystyle{ | 2^{x}-2| \le 3^{x}}\)

A może tak:
\(\displaystyle{ x \ge 1 \\
2^{x}-2 \le 3^{x} \\ 3^x-2^x \ge -2}\)

Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) lewa strona jest zawsze dodatnia, więc nierówność jest prawdziwa dla tych iksów.

\(\displaystyle{ x<1 \\
2^{x}-2 \ge - 3^{x} \\
3^x+2^x \ge 2}\)
dla \(\displaystyle{ xin[0,1)}\) nierówność jest prawdziwa
dla \(\displaystyle{ x<0}\) falszywa

ostatecznie \(\displaystyle{ x\ge 0}\)