Matematyka.pl

Dzień dobry. Podczas rozwiązywania zadania z kombinatoryki, a dokładniej ze schematu Bernoulliego doszedłem do nierówności (określonej rzecz jasna dla liczb naturalnych):

\(\displaystyle{ \left(0,75\right)^n≤0,01}\)

Jak to rozwiązać na maturze mając do dyspozycji tylko kalkulator prosty?

P. S. Wiem, że można w kalkulatorze prostym wciskać znak równa się siedemnaście razy, ale jak to rozwiązać i zapisać poprawnie?

Podstawiamy kolejno :

\(\displaystyle{ n=1, \ \ 0,75^1 = 0,75 \geq 0,01 }\)

\(\displaystyle{ n=2, \ \ 0,75^2 = 0,5625 \geq 0,01 }\)
..........................................

\(\displaystyle{ n=17, \ \ 0,75^{17} \approx 0,008 \leq 0,01}\)

Trzeba liczyć siedemnaście razy.

Jak można ten wynik uzyskać szybciej ? Nie mając kalkulatora z logarytmami ?

Musimy sobie przygotować przybliżone wartości niektórych logarytmów dziesiętnych. W tym przypadku \(\displaystyle{ \log (3) = \approx 0,4771 \ \ \log(0,5) \approx - 0.3010.}\)

Logarytmując logarytmem dziesiętnym obie strony nierówności, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \log\left(0,75^{n}\right) \leq \log(0,01) }\)

\(\displaystyle{ n\log(0.75) \leq \log \left(10^{-2}\right) }\)

\(\displaystyle{ n\geq \frac{-2}{\log(0,75)} = \frac{-2}{\log 3\cdot 0,5^2)} = \frac{-2}{log(3) + 2\log(0,5)} \approx \frac{-2}{0,4771 - 2\cdot 0,3010} = 16,01281.}\)

\(\displaystyle{ n = 17.}\)