Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{3} \right)^{-6x-9} \ge \left( \frac{3}{2^{2}}\right) ^{x-6} \cdot \left( \frac{3^{2}}{2}\right) ^{2x+3}}\)
W trakcie rozwiązywania nierówności doszedłem do takiej postaci, jak uporządkować \(\displaystyle{ 2^{2}}\) w mianowniku i \(\displaystyle{ 3^{2}}\) liczniku aby podstawa była taka sama ?

\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2^{2}}\right) ^{x-6} \cdot \left( \frac{3^{2}}{2}\right) ^{2x+3} = \frac{3^{x-6}}{2^{2x-12}} \cdot \frac{3^{4x+6}}{2^{2x+3}}}\)
tak próbowałeś?

No w porządku i dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}\right)^{6x+9} \ge \frac{3^{5x}}{2^{4x-9}}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}\right)^{6x+9} \ge \frac{3^{5x}}{2^{4x-9}}}\)

dzielmy przez \(\displaystyle{ 3^{5x}}\) i mnóżmy przez \(\displaystyle{ 2^{6x+9}}\), możemy tak zrobić i nie martwić się o zmianę znaku nierówności, bo funkcja wykładnicza jest nieujemna mamy:

\(\displaystyle{ 3^{x+9} \ge 2^{2x + 18} = 4^{x+9}}\)