Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \log _{x^{2}-x} \left( x+3 \right) < 1}\)

\(\displaystyle{ x^2-x \neq 1}\) czyli \(\displaystyle{ x \neq \frac{1+ \sqrt{5} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x \neq \frac{1- \sqrt{5} }{2}}\)

Ponadto \(\displaystyle{ x+3 > 0}\)
czyli \(\displaystyle{ x > -3}\)

Łącząc powyższe warunki otrzymujemy \(\displaystyle{ x \in \left( -3; \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) \cup \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}; + \infty \right)}\)

Idąc dalej

\(\displaystyle{ \log _{x^{2}-x} \left( x+3 \right) < \log _{x^{2}-x} \left( x^2-x \right)}\)

\(\displaystyle{ x+3 > x^2-x}\)

z tej nierówności otrzymuję \(\displaystyle{ x \in \left(-1; 3 \right)}\)

Co po wzięciu części wspólnej z \(\displaystyle{ x \in \left( -3; \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) \cup \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}; + \infty \right)}\)

daje mi: \(\displaystyle{ x \in \left( -1; \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right) \cup \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2}; 3\right)}\)

Podczas gdy odpowiedź to:

\(\displaystyle{ x \in \left( -3; -1\right) \cup \left( \frac{1- \sqrt{5} }{2}; 0\right) \cup \left( 1; \frac{1+ \sqrt{5} }{2}\right) \cup \left( 3; + \infty \right)}\)

Co jest zrobione źle?

Po pierwsze, zapomniałeś dołożyć warunku że \(\displaystyle{ x^2-x > 0}\)
Po drugie musisz rozważyć dwa przypadki :
a) \(\displaystyle{ x^2-x \in (0,1)}\)
b) \(\displaystyle{ x^2-x \in (1, \infty)}\)

A musisz je rozważyć by znak nierówności między argumentami logarytmów był odpowiednio ustawiony.

aha, czyli kiedy mamy do czynienia z przypadkiem a) czyli funkcją malejącą to znak nierówności zostaje zamieniony na przeciwny, a w przypadku b pozostaje bez zmian, zgadza się?

Tak