Nie posługując się kalkulatorem zbadaj, która z liczb jest większa
\(\displaystyle{ \sqrt{5} ^{ \sqrt{2} }}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{ \sqrt{5} }}\)
która z liczb jest większa
-
Till
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 4 wrz 2009, o 01:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 6 razy
która z liczb jest większa
ok, utwórzmy więc funkcję:
\(\displaystyle{ f(x) = {\ln x \over x}}\), dalej
\(\displaystyle{ f'(x) = {1-\ln x \over x^2}}\), czyli f jest ściśle rosnąca na (0, e).
W takim razie \(\displaystyle{ f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{5})}\), czyli
\(\displaystyle{ {\ln \sqrt{2}\over \sqrt{2}}< {\ln \sqrt{5}\over \sqrt{5}}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \sqrt{5} \ln \sqrt{2} < \sqrt{2} \ln \sqrt{5}}\), zatem
\(\displaystyle{ \ln \sqrt{2}^{\sqrt{5}}< \ln \sqrt{5}^{\sqrt{2}}}\).
Logarytm jest również ściśle rosnący, zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{5}}< \sqrt{5}^{\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ f(x) = {\ln x \over x}}\), dalej
\(\displaystyle{ f'(x) = {1-\ln x \over x^2}}\), czyli f jest ściśle rosnąca na (0, e).
W takim razie \(\displaystyle{ f(\sqrt{2}) < f(\sqrt{5})}\), czyli
\(\displaystyle{ {\ln \sqrt{2}\over \sqrt{2}}< {\ln \sqrt{5}\over \sqrt{5}}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \sqrt{5} \ln \sqrt{2} < \sqrt{2} \ln \sqrt{5}}\), zatem
\(\displaystyle{ \ln \sqrt{2}^{\sqrt{5}}< \ln \sqrt{5}^{\sqrt{2}}}\).
Logarytm jest również ściśle rosnący, zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{5}}< \sqrt{5}^{\sqrt{2}}}\)
