Matematyka.pl

Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej funkcji:

1.\(\displaystyle{ f(x) = \left| x - 1\right| - 1 }\)
2.\(\displaystyle{ g(x) = x^{3} }\)

oraz wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ h(x) = f(x) \cdot g(x) }\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań.

A skąd pomysł, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną?

JK

Czyli, żeby sprawdzić czy funkcja ma funkcję odwrotną najpierw trzeba sprawdzić czy jest równowartościowa?
Jeśli jest różnowartościowa to nie posiada ona funkcji odwrotnej?

Jeśli jest funkcją różnowartościową i funkcją ... to ma funkcję odwrotną.

Jeśli jest funkcją różnowartościową i funkcją "na" to ma funkcję odwrotną.

Czyli, jeśli mam \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1\right] \right) }\) to ta funkcja nie ma funkcji odwrotnej.
a tutaj \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( 0 , \infty \right) \right) }\) funkcja posiada funkcję odwrotną.

Dobrze myśle?

kuba14021 pisze: 21 gru 2020, o 17:09Czyli, jeśli mam \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1\right] \right) }\) to ta funkcja nie ma funkcji odwrotnej.
a tutaj \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( 0 , \infty \right) \right) }\) funkcja posiada funkcję odwrotną.

Czy mógłbyś dokładniej wyjaśnić, co masz na myśli pisząc "jeśli mam \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1\right] \right) }\)"? Bo formalnie rzecz biorąc nie ma to sensu.

JK

W poleceniu mam, że \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\).

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| x-1\right|-1 }\).

Mam wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1 \right] \right) }\) czyli funkcje odwrotną o przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ \left( - \infty ,1 \right] }\).

Wiem, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| x-1\right|-1 }\) jest różnowartościowa.

Aby uzyskać funkcję odwrotną funkcja musi być funkcją różnowartościowa i funkcją "na".

Żeby wiedzieć czy funkcja jest funkcją "na" trzeba zwrócić uwagę na przeciwdziedzinie, ale nie potrafię to jakoś sensownie wytłumaczyć dlaczego funkcja nie jest funkcją "na".

kuba14021 pisze: 21 gru 2020, o 17:57 Wiem, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\left| x-1\right|-1 }\) jest różnowartościowa.

\(\displaystyle{ f(0)=\cdots\\
f(2)=\cdots}\)

Pozdrawiam

kuba14021 pisze: 21 gru 2020, o 17:57Mam wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1 \right] \right) }\) czyli funkcje odwrotną o przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ \left( - \infty ,1 \right] }\).

Nie sądzę. Mylisz oznaczenia, a raczej ich nie znasz.

Zgodnie z tym, co napisałeś, masz wyznaczyć przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \left( - \infty ,1 \right]}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).

JK

JHN pisze: 21 gru 2020, o 22:17
\(\displaystyle{ f(0)=\cdots\\
f(2)=\cdots}\)

\(\displaystyle{ f(0)=\left| 2-1\right|-1 = 1 -1 = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(2)=\left| 0-1\right|-1 = 1 -1 = 0 }\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)
\(\displaystyle{ f\left( 0\right) =f\left( 2\right) }\)

No dobra czyli funkcja nie jest różnowartościowa.

kuba14021 pisze: 22 gru 2020, o 16:54No dobra czyli funkcja nie jest różnowartościowa.

Co nie ma większego znaczenia przy wyznaczaniu przeciwobrazu.

JK

No dobra mam \(\displaystyle{ f(x)=\left| x-1\right|-1 }\)

Mam wyznaczyć przeciwobraz \(\displaystyle{ f ^{-1}\left( \left( - \infty ,1\right] \right) }\)

Co muszę zrobić najpierw?

Napisać co to znaczy, że `x` należy do tego zbioru. A potem rozwiąż nierówności, które otrzymasz

X należy do zbioru, gdy każda liczba podstawiona pod x spełnia dane równanie lub nierówność.

\(\displaystyle{ \left| x-1\right|=1 }\)
\(\displaystyle{ x-1=1}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)


\(\displaystyle{ \left| x-1\right|=-1 }\)
\(\displaystyle{ x-1=-1}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)

Nie