Matematyka.pl

Niech\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}}\).Wyznacz \(\displaystyle{ \left( \overbrace{f\cdot f\cdot \ldots f}^{2004}\right) \cdot \left( 2005\right)}\)

Na początek wypiszmy sobie kilka wyrazów:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}\\ f \circ f(x)= \frac{1}{1- \frac{1}{1-x} } = \frac{1-x}{-x}= \frac{x-1}{x}=1-\frac 1 x\\f^3 (x)=1- \frac{1}{ \frac{1}{1-x} }=1-(1-x)=x}\)
Oczywiście korzystamy tutaj z łączności składania funkcji. Powstaje więc
\(\displaystyle{ \textbf{hipoteza}\\
f^{3k}(x)=id(x)=x}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\).
Uwaga: to nie potęga, tylko \(\displaystyle{ 3k}\)-krotne złożenie funkcji. Dowód hipotezy: indukcja po \(\displaystyle{ k}\) (w razie problemów napisz).

Teraz (po przeprowadzeniu dowodu powyższej obserwacji) pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ 3|2004}\), toteż
\(\displaystyle{ \left( \overbrace{f\cdot f\cdot \ldots f}^{2004}\right) \left( 2005\right)=2005}\)