Matematyka.pl

Witam

Mam problem z dwoma przykładami odnośnie wykazywania, że funkcja nie jest różnowartościowa.

a) \(\displaystyle{ x(x-2)}\)

Korzystam z twierdzenia :

\(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2})}\)

\(\displaystyle{ x_{1}(x_{1} -2) = x_{2}(x_{2} -2 )}\)

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = 2}\) I nie wiem co dalej zrobić

b) \(\displaystyle{ 2 \left| x -6 \right|}\)

To samo twierdzenie

\(\displaystyle{ 2 \left| x_{1} -6\right| = 2\left| x_{2} - 6\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| x_{1} -6\right| = \left| x_{2} - 6\right|}\)

I jak to dalej rozwiązać ? Przedziałami \(\displaystyle{ x < 6}\) i \(\displaystyle{ x \ge 6}\) wychodzi potwierdzenie tezy, a muszę przecież jej zaprzeczyć

Dziedziny przydałyby się tych funkcji

Jak nie jest różnowartościowa to wskazujesz kontrprzykład i tyle

\(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2})}\) - to jest przecież prawdziwe zawsze. Wartość funkcji w \(\displaystyle{ x_1}\) jest równa wartości funkcji w \(\displaystyle{ x_1}\), rzeczywiście odkrywcze.

Pytanie: czy Ty wiesz w ogóle co masz zrobić w tym zadaniu, czy tylko idziesz "na pałę" i masz nadzieję, że samo wyjdzie?

Funkcja różnowartościowa dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, czyli: \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)}\). Teraz można z prawa kontrapozycji zapisać, że jest to równoważne z \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2}\) - jeśli wartości są równe, to argumenty są równe. No ale to raczej do wykazywania, że funkcja jest różnowartościowa. Chcąc wykazać, że nie jest różnowartościowa wystarczy wskazać kontrprzykład, czyli dwa takie punkty \(\displaystyle{ x_1 , x_2 : x_1 \neq x_2}\), że \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\). Z tym już nie powinno być problemu, zawsze możesz sobie pomocniczy wykres narysować.