Ala napisała na tablicy trójmian \(\displaystyle{ x^2+3x+15}\). W każdym kolejnym kroku zmieniała (zwiększając lub zmniejszając o jeden wyraz wolny lub współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\)), aż na tablicy był \(\displaystyle{ x^2+13x+5}\).
Czy mógł być wypisany, w którymś kroku, trójmian który ma obydwa pierwiastki całkowite ?
Przyjmę taką interpretację treści, która daje zadaniu choć minimalny sens, ale ogólnie to jestem zniesmaczony redakcją zadania, oceniam ją na niedostateczny. Mianowicie rozumiem to tak, że w każdym kroku zmniejszamy o \(\displaystyle{ 1}\) wyraz wolny i zarazem zwiększamy o \(\displaystyle{ 1}\) współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) bądź na odwrót. Jeśli napiszemy trójmian w formie \(\displaystyle{ x^2+bx+c}\), to niezmiennikiem operacji z zadania jest suma \(\displaystyle{ b+c}\). Czyli jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) – pierwiastki trójmianu (opcjonalnie również zespolone), to nie zmienia się wartość \(\displaystyle{ x_1x_2-x_1-x_2}\). W takim razie nie zmienia się też wartość sumy tego wyrażenia i jedynki (innymi słowy tutaj jest to suma współczynników trójmianu), czyli \(\displaystyle{ (1-x_1)(1-x_2)}\), to wyrażenie zaś dla trójmianu \(\displaystyle{ x^2+3x+15}\) wynosi \(\displaystyle{ 19}\). \(\displaystyle{ 19}\) jest liczbą pierwszą, więc gdyby w którymś kroku tak \(\displaystyle{ x_1}\), jak i \(\displaystyle{ x_2}\) były całkowite, to oznaczałoby, że WLOG \(\displaystyle{ (1-x_1=1 \wedge 1-x_2=19) \vee (1-x_1=-1\wedge 1-x_2=-19)}\)
Pierwsza możliwość prowadzi do \(\displaystyle{ x_1=0, \ x_2=-18}\), czyli do \(\displaystyle{ x^2+18x}\), ale jeśli doszliśmy do tego wielomianu na drodze operacji opisanej w zadaniu (dodawanie jedynki do wyrazu wolnego i odejmowanie od współczynnika przy \(\displaystyle{ x}\) lub na odwrót), to wcześniej musieliśmy osiągnąć \(\displaystyle{ x^2+13x+5}\), lecz wtedy powinniśmy skończyć, sprzeczność.
Druga możliwość prowadzi do \(\displaystyle{ x_1=2, \ x_2=20}\), czyli do trójmianu postaci \(\displaystyle{ x^2-22x+40}\). Taki trójmian mogliśmy osiągnąć na przykład \(\displaystyle{ 25}\) razy zmniejszając o \(\displaystyle{ 1}\) współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) i zwiększając wyraz wolny (oczywiście np. \(\displaystyle{ 3<13}\), więc nie zatrzymamy się w takim procesie, bo nie osiągniemy po drodze trójmianu \(\displaystyle{ x^2+13x+5}\)). Później sobie tak modyfikujemy współczynniki, żeby było \(\displaystyle{ x^2+13x+5}\) (po prostu konsekwentnie zmniejszamy wyraz wolny i zwiększamy współczynnik przy iksie). Zatem IMHO przy takim sformułowaniu odpowiedź na pytanie z zadania brzmi: TAK. Gdybyśmy np. rozważali taki sposób wykonywania naszej operacji, by nie napotkać na cykle (tj. że dwa razy w naszym procesie mamy napisany ten sam wielomian), to odpowiedź byłaby przeciwna, ale takiego założenia nie widzę.
