Matematyka.pl

Dla jakich wartości całkowitych a pierwiastki równania
\(\displaystyle{ (a-1)x^{2}-(a ^{2}+1)x+a ^{2}+a=0}\)
są liczbami całkowitymi?

Zauważmy na początek, że \(\displaystyle{ a=1}\) spełnia warunki zadania. Natomiast dla dla \(\displaystyle{ a 1}\) mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, które ma pierwiastki całkowite, całkowita więc musi być też liczba:
\(\displaystyle{ x_1 x_2 = \frac{a^2 + a}{a-1} = a+2 + \frac{2}{a-1}}\)
To zaś znaczy, że \(\displaystyle{ a-1}\) musi być dzielnikiem dwójki, czyli \(\displaystyle{ a \{ -1, 0 ,2 ,3\}}\). Ręcznie sprawdzamy, że dla każdej liczby z tego zbioru nasze równanie istotnie ma dwa pierwiastki całkowite, ostatecznie więc zbiorem rozwiązań zadania jest: \(\displaystyle{ a \{ -1, 0,1 ,2 ,3\}}\).

Q.

Qń, hmmm a co z deltą? z niczym nie koliduje, czy już ją uwzględniłes;)?

Delty nie musimy liczyć, natomiast faktycznie na początku brakuje słowa "mieć" między "ma" i "pierwiastki". Innymi słowy najpierw wskazujemy warunek konieczny, a potem ("sprawdzając ręcznie") dostateczny.

Q.

"które ma pierwiastki całkowite, całkowita więc musi być też liczba:
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2}\)"

Hmm, czemu tak? przeciez moze byc \(\displaystyle{ x_1= \frac 12}\) i \(\displaystyle{ x_2=2}\) i tez da Ci liczbe calkowita ,w tym wypadku jeden. Wiec czemu iloczyn musi byc calkowity?

mcsQueeb pisze:"przeciez moze byc \(\displaystyle{ x_1= \frac 12}\) i \(\displaystyle{ x_2=2}\) i tez da Ci liczbe calkowita ,w tym wypadku jeden. Wiec czemu iloczyn musi byc calkowity?

Jeśli dwie liczby są całkowite, to przede wszystkim żadna nie może być równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a po drugie - ich iloczyn też jest całkowity.

Q.

aaa sorry nie doczytalem ze te pierwiastki musza tez byc calkowite. Zwracam honor !

Qń pisze:

mcsQueeb pisze:"przeciez moze byc \(\displaystyle{ x_1= \frac 12}\) i \(\displaystyle{ x_2=2}\) i tez da Ci liczbe calkowita ,w tym wypadku jeden. Wiec czemu iloczyn musi byc calkowity?

Jeśli dwie liczby są całkowite, to przede wszystkim żadna nie może być równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a po drugie - ich iloczyn też jest całkowity.

Odkopuję.
Nie rozumiem tej odpowiedzi, my nie zakładamy, że pierwiastki są całkowite, my szukamy, kiedy pierwiastki są całkowite. Ten warunek z iloczynem chyba nie jest wystarczający.

Jeśli pierwiastki są całkowite to ich iloczyn też jest. W drugą stronę to oczywiście nie działa, więc owszem nie jest to warunek wystarczający ale też i na tym rozwiązanie zadania się nie skończyło. Znajdując \(\displaystyle{ a}\) dla których iloczyn jest całkowity dostajemy dużo mniejszy niż początkowo zbiór dopuszczalnych wartości \(\displaystyle{ a}\). Wiemy, że szukane przez nas wartości parametru na pewno się w tym zbiorze znajdują. A że zbiór jest dość mały, to można resztę zadania zrobić "ręcznie", czyli sprawdzać kolejne \(\displaystyle{ a}\). Więc coś jeszcze oprócz rozpatrywania iloczynu zrobiliśmy.

Oczywiście, że nie jest wystarczający - jest konieczny. Potem

Qń pisze:Ręcznie sprawdzamy, że dla każdej liczby z tego zbioru nasze równanie istotnie ma dwa pierwiastki całkowite, ostatecznie więc zbiorem rozwiązań zadania jest: \(\displaystyle{ a \in \{ -1, 0,1 ,2 ,3\}}\).

JK