Matematyka.pl

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f}\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x ) = ax^{2} + bx + c}\). Największa wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest równa 6 oraz \(\displaystyle{ f (-6 ) = f(0) = 3/2}\) . Oblicz wartość współczynnika \(\displaystyle{ a}\).

Dlaczego nie mogę użyć wzorów kanonicznych i ułożyć z nich układu równań?


\(\displaystyle{ \frac{3}{2}=a(-6-p) ^{2}+6}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}=a(0-p) ^{2}+6}\)

A kto powiedział, że nie możesz? Bylebyś nie pomylił plusa z minusem.A pomyliłeś

Dlaczego nie mogę użyć wzorów kanonicznych i ułożyć z nich układu równań?

Co oznacza " nie mogę " ?
Co możesz powiedzieć o wartości \(\displaystyle{ p}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ f\left( 6\right) = f\left( 0\right)}\) ?

kmarciniak1 pisze:A kto powiedział, że nie możesz? Bylebyś nie pomylił plusa z minusem.A pomyliłeś

tam jest \(\displaystyle{ f(-6)=3/2}\), po poprawce LaTeX to zjadł.

Jeżeli dla pewnych \(\displaystyle{ p , q \in D_{f}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( d_{1} \right) = f\left( d_{2} \right)}\) dla \(\displaystyle{ d_{1} \neq d_{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{d_{1}+d_{2}}{2} = \frac{-b}{2a} = p}\) ( to wynika z symetrii ). U Ciebie \(\displaystyle{ d_{1} = 0}\) oraz \(\displaystyle{ d_{2} = -6}\), co za tym idzie...

Tak rozumiem, że wyjdą współrzędne wierzchołka, (-3, 6), aczkolwiek chciałem się dowiedzieć, czy z powyższego układu również powinien mi wyjść a? Bo nie wychodzi.

Oczywiście, że powinien,
Mamy \(\displaystyle{ 3/2 = ap^{2} + 6}\) z drugiego równania. Z pierwszego natomiast \(\displaystyle{ 3/2 = 36a + 12ap + ap^{2} + 6}\) Korzystając z równości z pierwszego równania mamy, że \(\displaystyle{ 12ap + 36a = 0}\), czyli \(\displaystyle{ a(3-p) = 0}\) ( wiemy, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) ). Stąd \(\displaystyle{ p = 3}\) Z drugiego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ 3/2 = 9a + 6}\) a stąd \(\displaystyle{ a = -1/2}\)

Jeśli z drugiego równania obliczyłem, że \(\displaystyle{ a=- \frac{9}{2p ^{2} }}\), następnie podłożyłem do pierwszego, to otrzymuje a=3.

Może jednak otrzymujesz wartość \(\displaystyle{ p}\), a nie wartość \(\displaystyle{ a}\) ?

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}=p ^{2}a+6}\)
\(\displaystyle{ - \frac{9}{2}=ap ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a=- \frac{9}{2p ^{2} }}\)

Wstawiając teraz tą obliczoną wartość \(\displaystyle{ a}\) do pierwszego równania otrzymasz wartość \(\displaystyle{ p}\). Mianowicie dostaniesz \(\displaystyle{ p = -3}\) ( wyżej w obliczeniach popełniłem błąd, powinno być \(\displaystyle{ 3 + p = 0}\) ).

Pasuje, dziękuję za pomoc.