Matematyka.pl

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2x ^{2}+(p-10)x+6}\)

Chciałbym wyznaczyć wszystkie wartości \(\displaystyle{ p}\) takiego że iloraz pierwiastków tego równania równy jest równy \(\displaystyle{ 12}\).

1 \(\displaystyle{ p \in \RR}\) bo to czy funkcja jest kwadratowa nie jest zależne od \(\displaystyle{ p}\).

2 Delta tego przedsięwzięcia musi być większa lub równa zero bo w zadaniu nie jest powiedziane że pierwiastki muszą być różne. Nawet jeśli nie ma to [dwa takie same pierwiastki] sensu to sądzę że nie wpłynie to na wynik bo po prostu iloraz dwóch takich samych liczb nie będzie nigdy równy nic innego niż jeden. Jednakże to jest moje pierwsze pytanie do tego zadania: czy delta powinna być większa lub równa czy tylko większa od zera?
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow b ^{2}-4ac \ge 0}\)
dochodzę do postaci: \(\displaystyle{ p ^{2} -20p _52 \ge 0}\)
Znowu delta, która tez powinna być większa bądź równa zero i wynosi \(\displaystyle{ 192}\). Pierwiastki to \(\displaystyle{ p _{1} = 10-4 \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ p _{2} = 10+4 \sqrt{3}}\).
Rozwiązuje nierówność: \(\displaystyle{ p ^{2}-20p+52 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ p \in \left( - \infty ,10-4 \sqrt{3}\right\rangle \cup \left\langle 10+4 \sqrt{3} , +\infty\ \right)}\)

Moje drugie pytanie dotyczy tego czy jeśli przy liczeniu delty, która akurat teraz powinna być większa od zera bądź równa, to w przypadku gdy wyjdzie mi nierówność kwadratowa spełniające tą nierówność (deltową) to ona także musi być większa od zera bądź równa, prawda? W pewnym sensie znak nierówności jest dziedziczony więc przepisuje i po sprawie czy raczej powinienem się dogłębnie zastanawiać nad znakiem żeby nierówność, powiedzmy, miała sens?
3
\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{x ^{2} } = 12 \\
\frac{\frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}}{\frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}} = 12 \\
\frac{-b- \sqrt{\Delta} }{-b+ \sqrt{\Delta} } = 12}\)
No właśnie trzeci warunek tak sformułowałem ale ilekroć razy liczyłem to gdy dochodziłem do równania kwadratowego wychodziła mi delta ujemna. Jakieś sugestie?

Odpowiedziami do tego zadania są \(\displaystyle{ p=-3}\) i \(\displaystyle{ p =3}\)

Możesz założyć że wyróżnik jest większy od zero, bo jak sam zauważyłeś gdyby był równy zero, iloczyn na pewno nie wynosiłby \(\displaystyle{ 12}\).


Najprościej to chyba zrobić z wzorów Viet'a. Niech \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) to pierwiastki tego równania.
Wówczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 \cdot x_2 = 6 \\ \frac{x_1}{x_2}=12 \\ \end{cases}}\)
Stąd masz od razu pierwiastki tego równania.
Ponownie z wzorów Viet'a:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 = -p + 10}\)
Na końcu, oczywiście musisz sprawdzić czy p należy do przedziału który wyszedł przy wyróżniku.