Matematyka.pl

Cześć, oto treść zadania: "Obwód pewnego trójkąta jest równy \(\displaystyle{ 6}\), a jeden z jego kątów ma miarę \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość \(\displaystyle{ R= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\). Wyznacz długości boków tego trójkąta tak, aby jego pole było największy.". Okej, wydaje się to być prostym zadaniem na optymalizacje, jednak wydaje mi się, że udowodniłem, że istnieje tylko jeden taki trójkąt i zastanawiam się czy to ja bredzę, czy to zadanie jest bezsensu.
Otóż niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) - długości boków trójkąta
Z porównania pól \(\displaystyle{ \frac{abc}{4R}= \frac{ab\sin 60^\circ}{2},}\), z tego otrzymujemy \(\displaystyle{ c=2}\), zatem z danych zadania \(\displaystyle{ (2)a+b=6-c=4}\)
Następnie stosuję tw. cosinusów i dostaję : \(\displaystyle{ (1)a^{2}+b^{2}-ab=4}\)
Rozwiązując układ równań (1) i (2) dostaję \(\displaystyle{ b=2, c=2}\). To jak, ja się pomyliłem, czy to zadanie jest słabe?

danielmast pisze:Z porównania pól \(\displaystyle{ \frac{abc}{4R}= \frac{ab\sin 60^\circ}{2},}\), z tego otrzymujemy \(\displaystyle{ c=2}\),

Na mój gust

\(\displaystyle{ c=2R\sin 60^\circ=2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3}\).

Nawiasem mówiąc, dana \(\displaystyle{ R= \frac{2 \sqrt{3} }{2}}\) wygląda dziwnie...

JK

Przepraszam bardzo, istotnie, w mianowniku miało być 3, a nie 2. Wtedy właśnie dostajemy \(\displaystyle{ c=2}\)

Zadanie jest słabe. Dane istotnie opisują trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ 2}\).

JK