Matematyka.pl

Wykaz ze jesli dla kazdego \(\displaystyle{ x \in \left\langle -1,1 \right\rangle}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ |ax^2 + bx + c| \le 1}\), to zachodzi również nierówność \(\displaystyle{ |cx^2 + bx + a| \le 2}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR}\)
Ma ktoś pomysł jak to zrobić? Chwilę już się z tym męczę i nic :/

min4max pisze:Ma ktoś pomysł jak to zrobić? Chwilę już się z tym męczę i nic :/

Pomysł mam,
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy, że \(\displaystyle{ -1 \le c \le 1}\), następnie podstawiając kolejno \(\displaystyle{ -1,1}\) pod \(\displaystyle{ x}\) dostajemy
\(\displaystyle{ -1 \le a-b+c \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le a+b+c \le 1}\)
Co po dodaniu stronami daje nam, że \(\displaystyle{ a+c\in \left\langle -1;1\right\rangle}\)
I teraz możemy zapisać
\(\displaystyle{ -2 \le 2c \le 2}\)
\(\displaystyle{ -1 \le a+c \le 1}\)
Po odjęciu dostajemy, że \(\displaystyle{ c-a \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \in \left\langle -1;1\right\rangle}\) prawdziwa jest nierówność (ponieważ oba argumenty na moduł nie przekraczają \(\displaystyle{ 1}\))
\(\displaystyle{ -1 \le \left( c-a\right)\left( x^2-1\right) \le 1 \Leftrightarrow -1 \le cx^2-ax^2-c+a \le 1}\)
Dodając teraz do tego naszą początkową nierówność z treści zadania dostajemy
\(\displaystyle{ -2 \le cx^2+bx+a \le 2 \Leftrightarrow \left| cx^2+bx+a\right| \le 2}\)

Kfadrat pisze:\(\displaystyle{ -2 \le 2c \le 2}\)
\(\displaystyle{ -1 \le a+c \le 1}\)
Po odjęciu dostajemy, że \(\displaystyle{ c-a \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)

nierówności nie wolno odejmować stronami

Ups...