Matematyka.pl

Hej, mam problem z zadaniem. Udało mi się rozwiązać ale nie wiem czy zrobiłem to dobrze.

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2x^{2} - 8x - 3}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -3;3 \right\rangle}\)

Wyszło mi z tego \(\displaystyle{ p = 2}\), najmniejsza \(\displaystyle{ -3}\) a największa \(\displaystyle{ 39}\). Mógłby ktoś potwierdzić?

\(\displaystyle{ f(x) = 2(x^2-4x+4)-8-3 = 2(x-2)^2-11}\)

minimalna to zatem \(\displaystyle{ -11}\) dla \(\displaystyle{ x = 2}\)
A maksymalna to oczywiście \(\displaystyle{ 2(-3-2)^2-11 = 50-11 = 39}\), więc jest ok...

A byłby ktoś w stanie wykonać to?

1. Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 3x ^{2}}\) przesunięto o \(\displaystyle{ 2}\) jednostki w lewo i \(\displaystyle{ 1}\) w dół wzdłuż osi układu współrzędnych. Napisz w postaci ogólnej wzór funkcji, której wykres otrzymano.

2. Podaj zbiór wartości, określ przedziały monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -2(x-5) ^{2} + 4}\)

3. Oblicz współrzędne wierzchołka oraz napisz równanie osi symetrii paraboli \(\displaystyle{ y = -x ^{2} +4x -7}\)

Co do 3 to udało mi się obliczyć że współrzędne wierzchołka to \(\displaystyle{ p = 2}\) i \(\displaystyle{ q = (-3)}\)

1. Takie przekształcenie tworzy funkcję \(\displaystyle{ g(x) = f(x+2)-1}\)
2. Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(\displaystyle{ (- \infty; q)}\) albo \(\displaystyle{ (q; + \infty)}\) (wybierz poprawne...), a z kolei przedziały monotoniczności to \(\displaystyle{ (- \infty; p)}\) i \(\displaystyle{ (p; + \infty)}\) - też określ monotoniczność samemu.

3. Oś symetrii paraboli \(\displaystyle{ a(x-p)^2 + q}\), to oczywiście prosta \(\displaystyle{ x = p}\)

Chcesz znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2x^{2} - 8x - 3}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -3;3 \right\rangle}\)

Jak zapewne wiesz, wykresem tej funkcji będzie jakaś parabola z wąsami w górę. Jeśli chcesz znależć najmniejszą i największą wartość tej funkcji w jakimś przedziale, to warto sprawdzić, czy w tym przedziale nie leży minimum tej funkcji, czyli wierzchołek paraboli.
Wierzcholek paraboli \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) jest w punkcie

\(\displaystyle{ x_{min}= \frac{-b}{2a}}\),

a jego współrzędna ygrekowa jest równa

\(\displaystyle{ y_{min}= \frac{-\Delta}{4a}}\)

Jeśli się okaże, że minimum leży w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -3;3 \right\rangle}\), to najmniejsza wartość funkcji będzie wartością minimalną \(\displaystyle{ y_{min}}\), a wartością największą - większa z wartości funkcji na krańcach zadanego przedziału.

Jeśli minimum nie leży w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -3;3 \right\rangle}\), to funkcja w tym przedziale nie zmienia monotoniczności, więc najmniejsza i największa wartość tej funkcji leżą odpowiednio na krańcach tego przedziału.