Matematyka.pl

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right)=-x ^{2} ^{} +bx+c, c \neq 0}\) jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left(c \right)=0}\) dla:
Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ c=1}\) . Mógłby ktoś wyjaśnić skąd się to wzięło

Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem osi OY wtedy, gdy współczynnik \(\displaystyle{ b}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\) (nie ma przesunięcia w poziomie, jest tylko w pionie [lub nie ma w pionie, ale to dla wykluczonego przypadku \(\displaystyle{ c = 0}\)]) Wtedy parabola nie ma rozwiązań, albo ma zgodnie z wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = ax^2 +c}\)
Dla twojego masz:
\(\displaystyle{ f(x) = -x^2+c = -(x^2-c) = -(x-\sqrt{c})(x+\sqrt{c})}\)

I faktycznie z powyższego wzoru. Jeśli mamy \(\displaystyle{ f(c) = 0 \Rightarrow c = \pm \sqrt{c} \Rightarrow c = \pm 1}\) ale dla \(\displaystyle{ c = -1}\), mamy sumę liczby niedodatniej i ujemnej, więc ujemną (wówczas dalszy rozkład nie ma sensu - l. ujemna pod pierwiastkiem). Z tego wynika \(\displaystyle{ c = 1}\).

A jakiś łatwiejszy sposób na rozwiązanie tego zadania, bo jakoś nie mogę sobie tego wyobrazic

PoweredDragon pisze:Dla twojego masz:
\(\displaystyle{ f(x) = -x^2+c = -(x^2-c) \red = -(x-\sqrt{c})(x+\sqrt{c})}\)

No nieprawda. Przecież nie wiesz, czy \(\displaystyle{ c\ge 0}\), wiec nie możesz tak napisać.

JK

Jan Kraszewski pisze:

PoweredDragon pisze:Dla twojego masz:
\(\displaystyle{ f(x) = -x^2+c = -(x^2-c) \red = -(x-\sqrt{c})(x+\sqrt{c})}\)

No nieprawda. Przecież nie wiesz, czy \(\displaystyle{ c\ge 0}\), wiec nie możesz tak napisać.

JK

Odniosłem się do tego dwie linijki niżej (I faktycznie nieściśle, bo wspomniałem tylko, że dla l. ujemnej dalszy rozkład nie ma sensu - choć fakt; mogłem napisać wcześniej)

No właśnie, najpierw zapisałeś nieprawdziwą (w ogólności) równość, a dopiero później stwierdziłeś, że nie ma to sensu. To nie najlepsza kolejność.

Nawiasem mówiąc, w ogóle nie wiem, po co to przekształcałeś. Jeśli \(\displaystyle{ f(x) = -x^2+c}\), to \(\displaystyle{ f(c) = -c^2+c}\) i rozwiązanie równania \(\displaystyle{ c-c^2=0}\) nie wymaga takich wygibasów, jak Twoje.

JK