Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim zadankiem.

Liczbę dodatnią \(\displaystyle{ k}\) przedstaw w postaci sumy dwóch liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), aby suma sześcianów tych liczb była najmniejsza.

\(\displaystyle{ \begin{cases} k = x+y \\ x ^{3} + y ^{3} \rightarrow min. \end{cases}}\)

Próbowałem podstawiać \(\displaystyle{ x =k-y}\) ale do niczego sensownego to nie prowadzi ;/

Najprościej to zrobić za pomocą tego podstawienia o którym piszesz. Dostaniesz wielomian drugiego stopnia i będzie trzeba znaleźć jego minimum ( \(\displaystyle{ x^3}\) się skasuje).

tu się zatrzymałem:

\(\displaystyle{ x^{3} + (k-x)^{3} = x^{3} + k^{3} -3k^{2}x + 3kx^{2} - x^{3} = k^{3} -3k^{2}x + 3kx^{2} = 3kx^{2} -3k^{2}x + k^{3} \\ \Delta = 9k^{4} - 12k^{4} = -3k^{4} \\ p = \frac{3k^{2}}{6k} = \frac{k}{2}}\)

Dobra już wszystko jasne ;d stanąłem przy tej dziwnej delcie i dalej nie liczyłem bo zasugerowałem się, że ujemna... Dzięki za pomoc.

Przepraszam, poprawiłem trochę tego mojego posta.

\(\displaystyle{ y = k-x\\
\\
f(x,y) = x^3 + y^3 \Rightarrow f(x) = x^3 + (k-x)^3\\
\\
f(x) = x^3 + k^3 - 3k^2x + 3kx^2 -x^3\\
f(x) = 3kx^2 -3k^2x\\
\text{liczymy ekstremum lokalne}\\
f'(x) = 6kx -3k^2\\
6kx - 3k^2 = 0\\
6kx = 3k^2\\
x = \frac{3k^2}{6k}\\
x=\frac{1}{2}k\\
\\
f''(x) = 6k\\
f''\left(\frac{1}{2}k\right) = 3 > 0 \Rightarrow \text{ minimum}\\
\\
\begin{cases}
k = x+y\\
x = \frac{1}{2}k\end{cases} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}k}\)

----[ edit ]----

a bez użycia pochodnych:

\(\displaystyle{ f(x) = 3kx^2 -3k^2x\\
x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{3k^2}{6k}}\)

i mamy to samo tylko brakuje nam dowodu że jest to minimum lokalne

\(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=k(x^2+2xy+y^2-3xy)=k(k^2-3xy)}\)

Suma sześcianów przyjmuje minimum wtedy, gdy \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje maximum.

Łatwo sprawdzić, że zbliżając \(\displaystyle{ x,y}\) z zachowaniem sumy, wartość \(\displaystyle{ x^3+y^3}\) maleje (podstawiamy \(\displaystyle{ x' = y' = \frac{x+y}{2}}\) wówczas \(\displaystyle{ x^3+y^3 > x'^3+y'^3 \iff (x+y)(x-y)^2 > 0}\)), skąd suma \(\displaystyle{ x^3+y^3}\) osiągnie minimum dla \(\displaystyle{ x=y=\frac{k}{2}}\)

czekoladowy pisze:\(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=k(x^2+2xy+y^2-3xy)=k(k^2-3xy)}\)

Suma sześcianów przyjmuje minimum wtedy, gdy \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje maximum.

a powszechnie wiadomo, że przy zachowaniu sumy \(\displaystyle{ x+y}\) wyrażenie \(\displaystyle{ xy}\) ma minimum dla \(\displaystyle{ x=y}\)

Gouranga pisze:

czekoladowy pisze:\(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=k(x^2+2xy+y^2-3xy)=k(k^2-3xy)}\)

Suma sześcianów przyjmuje minimum wtedy, gdy \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje maximum.

a powszechnie wiadomo, że przy zachowaniu sumy \(\displaystyle{ x+y}\) wyrażenie \(\displaystyle{ xy}\) ma maximum dla \(\displaystyle{ x=y}\)

Gdyby ktoś tego nie znał to robimy tak: \(\displaystyle{ x= \frac{x+y}{2}+\alpha}\),\(\displaystyle{ y= \frac{x+y}{2}-\alpha}\)

Wtedy \(\displaystyle{ xy=(\frac{x+y}{2}+\alpha)(\frac{x+y}{2}-\alpha)=(\frac{x+y}{2})^2-\alpha^2 \ge (\frac{x+y}{2})^2.}\)

Zatem maximum osiągane jest gdy \(\displaystyle{ \alpha=0 \Leftrightarrow x=y}\).