Matematyka.pl

Mamy funkcję kwadratową o wzorze

\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+3x+2}\)

\(\displaystyle{ D: x \in \left( \infty ;- \frac{3}{2}\right\rangle}\)

więc lewe ramie paraboli. Tak ograniczona będzie różnowartościowa, ale jak to odczytać z definicji?

Rozpisałam to tak

\(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x _{1} ) \neq f( x_{2})}\)
\(\displaystyle{ x_{1} ^{2}+3 x_{1} +2-\left( x_{2} ^{2}+3 x_{2}+2 \right) =x_{1} ^{2}+3 x_{1} +2 - x_{2} ^{2}-3 x_{2}-2=x_{1} ^{2} - x_{2} ^{2}+3 x_{1}-3 x_{2}=( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2} )-3( x_{1}- x_{2})=( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2}-3)}\)

nie mam pojęcia co dalej proszę o pomoc

Dobrze zaczęłaś. No to teraz się zastanów kiedy to wyrażenie
\(\displaystyle{ ( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2}-3)}\) może być równe zeru (pamiętając o ograniczeniu na argumenty).

Myślałam, żeby to przyrównać ale nie jestem tego pewna

\(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = 3}\)

i skoro dziedzina zawiera się w ujemnych do \(\displaystyle{ -1,5}\) to nie ma dwóch równych sobie liczb, z których sumy wyszłoby \(\displaystyle{ 3}\) ?
Więc zależność prawdziwa?

a4karo pisze:Dobrze zaczęłaś. No to teraz się zastanów kiedy to wyrażenie
\(\displaystyle{ ( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2}-3)}\) może być równe zeru (pamiętając o ograniczeniu na argumenty)

Dostajesz wsparcie, które nie ma zastosowania w tym zadaniu.
Drugi nawias powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (x_1 + x_2 + 3)}\)

Belf pisze:

a4karo pisze:Dobrze zaczęłaśNo to teraz się zastanów kiedy to wyrażenie
\(\displaystyle{ ( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2}-3)}\) może być równe zeru (pamiętając o ograniczeniu na argumenty)

Dostajesz wsparcie, które nie ma zastosowania w tym zadaniu.
Drugi nawias powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (x_1 + x_2 + 3)}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ +3}\) ?

Widzisz, jak mi Belf przywalił przez Twoją pomyłkę
Fakt, że Twój rachunek powinien wyglądać tak

\(\displaystyle{ x_{1} ^{2}+3 x_{1} +2-\left( x_{2} ^{2}+3 x_{2}+2 \right) =x_{1} ^{2}+3 x_{1} +2 - x_{2} ^{2}-3 x_{2}-2=x_{1} ^{2} - x_{2} ^{2}+3 x_{1}-3 x_{2}=( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2} ){\red +}3( x_{1}- x_{2})=( x_{1}- x_{2})( x_{1}+ x_{2}{\red +}3)}\)

co oczywiście nie zmienia faktu, że dla \(\displaystyle{ x_1,x_2<-3/2}\) drugi nawias nie może być równy zero.

Wykorzystaj to i napisz rozwiązanie. W Twoim opisie słowa "Więc zależność jest prawdziwa" brzmią strasznie enigmatycznie: napisz wprost jaki stąd wniosek.

dla \(\displaystyle{ x<- \frac{3}{2}}\) nie istnieje para, której suma spełniałaby zależność \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} +3 = 0}\).
Funkcja jest zatem róźnowartościowa

byłoby w porządku?

Tak, ale ładniej byłoby to zapisać tak:
Dla \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+3)\neq 0}\), bo dla \(\displaystyle{ x_1,x_2<-3/2}\) mamy \(\displaystyle{ x_1+x_2+3<-3/2-3/2+3=0}\)

JAk robisz jakieś obliczenia to nie bój się przypomnieć czytelnikowi to, co było na początku.

I pamiętaj: poprawiający kolokwium/egzamin przegląda setkę takich rozwiązań i za każdym razem gdy spotka ścianę znaczków bez wyjaśnień jego poziom frustracji wzrasta. Jak Twoją pracę zobaczy pod koniec, to poziom tolerancji na nieścisłości będzie już bliski zera (wiem po sobie ). Bądź zatem miłą we własnym interesie.