Matematyka.pl

Dane jest równanie kwadratowe \(\displaystyle{ mx^2 - (m - 2)x + m - 3 = 0}\).
a) określ dziedzinę i wzór funkcji \(\displaystyle{ f(m) = x_{1}x_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) są rozwiązaniami danego równania.
b) podaj wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie ma dwa rozwiązania i albo oba są w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, m)}\), albo oba są w przedziale \(\displaystyle{ (m, \infty)}\)

Można użyć wzorów Viète’a

Próbowałem, ale nie do końca wiem co zrobić poza tym, że \(\displaystyle{ f(m) = \frac{m-3}{m}}\)

Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

teraz podpunkt b
równanie ma \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania gdy
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (m-2) ^{2}-4m(m-3) \ge 0}\)
rozwiąż teraz tą nierówność a później się pomyśli o dalszej części

kmarciniak1 pisze:Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Dziedzinę trzeba ustalić zanim zobaczy się wzór funkcji.

piasek101 pisze:

kmarciniak1 pisze:Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Dziedzinę trzeba ustalić zanim zobaczy się wzór funkcji.

Dlaczego?

Bo \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2}\) istnieje pod pewnymi warunkami.

Czyli mamy nierówność:
\(\displaystyle{ (m-2) ^{2}-4m(m-3) \ge 0}\)
Otrzymuję, że \(\displaystyle{ -3m^2 +8m + 4\ge0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}}\)
Dalej mamy, że \(\displaystyle{ m_{1} = \frac{8 - 4\sqrt{7}}{-6}, m_{2} = \frac{8 + 4\sqrt{7}}{-6}}\)
stąd otrzymuje, że \(\displaystyle{ m \in (m_{2}, m_{1}) \setminus \left\{ 0\right\}}\).
Tak?

Tak (samych obliczeń nie sprawdzam).
Równanie ma być kwadratowe i mieć pierwiastki.

piasek101 pisze:

kmarciniak1 pisze:Oczywiście dziedzina to \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Dziedzinę trzeba ustalić zanim zobaczy się wzór funkcji.

Zadanie dla Ciebie: kiedy funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=\phantom{mx^2+(m-2)x+(m-3)}}\) ma dwa dodatnie pierwiastki? Ustal dziedzinę

Żart ?

Nie. Przecież sam napisałeś, że dziedzinę trzeba ustalić zanim zobaczy się wzór na funkcję

A zadanie czytałeś ?

Oj czytałem. I już mi trochę wstyd.
Z drugiej strony napisanie wzoru przed wyznaczeniem dziedziny może pomóc (tym bardziej, że po jej wyznaczeniu wzór na funkcje się nie zmieni)

Ale może też (patrz ten wątek) zaszkodzić - bo zapomina się o tym skąd ta funkcja pochodzi.