Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x ^{2}+(m+2)x-2m+1=0}\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest ujemne, a drugie większe od 1?



\(\displaystyle{ \hbox {Jeżeli} \ x _{1}<x _{2} \ \hbox{to} \ x _{1}<0 \wedge x _{2}>1}\)

\(\displaystyle{ \Delta=(m+2) ^{2}-4(-2m+1)=m ^{2} +4m+4+8m-4=m ^{2} +12m}\)

\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-m-2- \sqrt{m ^{2}+12m } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-m-2+ \sqrt{m ^{2}+12m } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{1}<0 \wedge x _{2} >1}\)

\(\displaystyle{ \frac{-m-2- \sqrt{m ^{2} +12m} }{2} <0 \wedge \frac{-m-2+ \sqrt{m ^{2} +12m} }{2}>1}\)

\(\displaystyle{ -m-2- \sqrt{m ^{2} +12m}<0 \wedge -m+ \sqrt{m ^{2} +12m}<4}\)

\(\displaystyle{ -m- \sqrt{m ^{2} +12m}<2 \wedge m- \sqrt{m ^{2} +12m}<-4}\)

Dodajemy nierówności stronami:

\(\displaystyle{ -m- \sqrt{m ^{2} +12m}+m- \sqrt{m ^{2} +12m}<-2}\)

\(\displaystyle{ -2\sqrt{m ^{2} +12m}<-2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{m ^{2} +12m}<1}\)

\(\displaystyle{ m ^{2} +12m<1}\)

\(\displaystyle{ m ^{2} +12m-1<0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=144-4 \cdot (-1)=148}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \frac{-12- \sqrt{148} }{2}}\)

\(\displaystyle{ m _{2} = \frac{-12+ \sqrt{148} }{2}}\)

\(\displaystyle{ m \in (\frac{-12+ \sqrt{148} }{2}, \frac{-12- \sqrt{148} }{2})}\)

Coś zrobiłem źle?

Licząc wyróżnik podstawiłeś za \(\displaystyle{ c = -2m+1}\), a z treści zadania wynikałoby jednak \(\displaystyle{ c=-m+1}\).
Na pewno dobrze zapisałeś równanie?

Już poprawiłem treść zadania.

\(\displaystyle{ \Delta = m^2 + 12m}\)
do tego miejsca jest dobrze, teraz wypadałoby załatwić jeszcze jedno założenie, którego nie zrobiłeś:
\(\displaystyle{ m^2 + 12m > 0\\
m(m+12) > 0\\
m\in (-\infty ; -12) \cup (0 ; +\infty)}\)

a dalej po dodaniu stronami dzielisz obustronnie przez \(\displaystyle{ -2}\) i nie zmieniasz znaku nierówności.

\(\displaystyle{ \hbox {Jeżeli} \ x _{1}<x _{2} \ \hbox{to} \ x _{1}<0 \wedge x _{2}>1}\)

\(\displaystyle{ \Delta=(m+2) ^{2}-4(-2m+1)=m ^{2} +4m+4+8m-4=m ^{2} +12m}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

\(\displaystyle{ m ^{2}+12m>0}\)

\(\displaystyle{ m(m+12)>0}\)

\(\displaystyle{ m\in (- \infty , -12) \cup (0, \infty)}\)

\(\displaystyle{ x _{ 1} = \frac{-m-2- \sqrt{m ^{2}+12m } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-m-2+ \sqrt{m ^{2}+12m } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{1}<0 \wedge x _{2} >1}\)

\(\displaystyle{ \frac{-m-2- \sqrt{m ^{2} +12m} }{2} <0 \wedge \frac{-m-2+ \sqrt{m ^{2} +12m} }{2}>1}\)

\(\displaystyle{ -m-2- \sqrt{m ^{2} +12m}<0 \wedge -m+ \sqrt{m ^{2} +12m}<4}\)

\(\displaystyle{ -m- \sqrt{m ^{2} +12m}<2 \wedge m- \sqrt{m ^{2} +12m}<-4}\)

Dodajemy nierówności stronami:

\(\displaystyle{ -m- \sqrt{m ^{2} +12m}+m- \sqrt{m ^{2} +12m}<-2}\)

\(\displaystyle{ -2\sqrt{m ^{2} +12m}<-2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{m ^{2} +12m}>1}\)

\(\displaystyle{ m ^{2} +12m>1}\)

\(\displaystyle{ m ^{2} +12m-1>0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=144-4 \cdot (-1)=148}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \frac{-12- \sqrt{148} }{2}=\frac{-12-2\sqrt{37}}{2}}\)

\(\displaystyle{ m _{2} = \frac{-12+ \sqrt{148} }{2}=\frac{-12+2\sqrt{37}}{2}}\)

\(\displaystyle{ m\in(-\infty, \frac{-12-2\sqrt{37}}{2}) \cup(\frac{-12+2\sqrt{37}}{2}, \infty)}\)

Teraz jest dobrze?

Ostatni przedział należałoby jeszcze sprawdzić na ile pokrywa się z tym warunkiem z \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) ale tu akurat sam ten przedział jest wynikiem, więc ok.

Inaczej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)<0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -m+4<0 \\ \frac{-2m+1}{1}<0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ m>4}\)
I kto ma dobrze?