Matematyka.pl

Mam pytanie, gdzie popełniam błąd?
2,321/ Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|=0,25(m^{2} -1)}\) nie ma rozwiązań?
Żeby równanie nie miało rozwiązań, zakładam że \(\displaystyle{ \Delta<0}\).
Przekształcamy początkowe równanie:
\(\displaystyle{ x ^{2}-(m-3)\left| x\right|+0,25(m ^{2} -1)=0}\)
Liczymy deltę mniejszą od zera:
\(\displaystyle{ (-(m-3) ^{2})-(m ^{2}-1)<0}\)
\(\displaystyle{ m> \frac{5}{3}}\)
Gdzie jest błąd? Z tego co wydumałem to jest wystarczający warunek żeby równanie nie miało rozwiązań. Proszę o pomoc
Wynik w odpowiedziach wynosi: \(\displaystyle{ m\epsilon (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)}\)

Warunek dobry.

Prawdopodobnie źle liczysz \(\displaystyle{ (-(m-3) ^{2})-(m ^{2}-1)<0}\)

Ale z tego co widzę w odpowiedziach musi być po prostu błąd bo np. dla \(\displaystyle{ m=-2}\) istnieją cztery rozwiązania.

Wprowadź sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ \left| x\right| =k}\). Z racji, że \(\displaystyle{ \left| x\right|^2 = x^{2}}\), twoje równanie ma wtedy postać:
\(\displaystyle{ -k^{2} + \left( m-3\right) k - 0,25\left( m^{2}-1\right) = 0}\)
Kiedy takie równanie nie ma rozwiązań? Rozpatrujesz wszystkie te możliwości i masz gotową odpowiedź.

Kacperdev pisze:Warunek dobry.

Prawdopodobnie źle liczysz \(\displaystyle{ (-(m-3) ^{2})-(m ^{2}-1)<0}\)

Ale z tego co widzę w odpowiedziach musi być po prostu błąd bo np. dla \(\displaystyle{ m=-2}\) istnieją cztery rozwiązania.

A w jaki sposób to liczysz?. Odpowiedzi są poprawne.

(*)
\(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|=0,25(m^{2} -1)}\)

\(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} -x^{2}+(m-3) x-0,25(m^{2} -1)=0 \ dla \ x \ge 0\\ -x^{2}-(m-3) x-0,25(m^{2} -1)=0 \ dla \ x < 0 \end{cases}}\)

Delta w każdym przypadku musi być mniejsza od zera. Mamy dwie możliwości:

1)

\(\displaystyle{ \Delta = -\left( m-3\right) - \left( m^2-1\right) <0 \Rightarrow -m^2-m+4<0 \Rightarrow m \in \left(- \infty , \ - \frac{1+ \sqrt{17} }{2} \right) \cup \left(\ -\frac{1- \sqrt{17} }{2} , \ \infty \right)}\)

2)

\(\displaystyle{ \Delta = \left( m-3\right) - \left( m^2-1\right) <0 \Rightarrow -m^2+m-2<0 \Rightarrow m \in \left( - \infty , \ -1\right) \cup \left( 2, \ \infty \right)}\)

Żeby równanie (*) nie miało rozwiązań, muszą być spełnione obydwa warunki

Słowem \(\displaystyle{ m \in ......}\)-- 21 lis 2014, o 22:33 --Chyba, że się gdzieś rąbnąłem...

Dziękuje za pomoc.
Zgodnie z warunkami, które podał Chewbacca97 odpowiedzi są poprawne.

Tak się zastanawiam, bo w warunku III mamy \(\displaystyle{ k _{1}+k _{2}<0}\). Chciałbym zauważyć, że wcześniej założyliśmy, że \(\displaystyle{ k \ge 0}\) (podstawilismy k pod wartość bezwzględną). Dalej, sumując dwie wartości bezwzględne nie może nam wyjść wynik mniejszy od zera. Czyli ta część warunku należy do zbioru pustego, czy tam jest sprzeczny. Co automatycznie kasuje nam warunek III, co zmienia wynik końcowy.

Jak słusznie zauważyłeś: \(\displaystyle{ k = \left| x\right| \ge 0}\) . Jednak przez \(\displaystyle{ k_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ k_{2}}\) oznaczyłem pierwiastki równania: \(\displaystyle{ -k^{2} + \left( m-3\right) k - 0,25\left( m^{2}-1\right) = 0}\) . Pierwiastki te wcale nie muszą być większe lub równe \(\displaystyle{ 0}\) ... Ważne jest, żeby zrozumieć jak to się wszystko dzieje.

Twoje równanie dane w zadaniu: \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)=0}\) .
Wyobraź sobie na chwilę, że nie ma w nim wartości bezwzględnej: \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)x-0,25(m^{2} -1)=0}\) .
Uświadom sobie co zmienia ta wartość bezwzględna w tym równaniu. Zapiszmy to tak:
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = -x^{2}+(m-3)x-0,25(m^{2} -1) \\ f\left( \left| x\right| \right) =-x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)}\)
Rysując wykresy tych funkcji, zastanów się co zmienia ta cała wartość bezwzględna.

Kiedy już będziesz wiedział o co chodzi. Zastanów się kiedy, równanie dane w zadaniu nie będzie miało rozwiązań (pierwiastków). Przeanalizuj dokładnie warunki, które podałem i zastanów się czemu akurat takie a nie inne, i czy faktycznie przy takich warunkach równanie nie będzie miało rozwiązań.

gregorn97 pisze: Czyli ta część warunku należy do zbioru pustego, czy tam jest sprzeczny. Co automatycznie kasuje nam warunek III, co zmienia wynik końcowy.

Nic nie kasuje warunku trzeciego. A wynik końcowy jest najprawdopodobniej prawidłowy.

Jest dobrze, już rozumiem o co Ci chodzi
Wszakże nadal mi się zdaję, że warunku III nie możemy tak oznaczyć.
Gdybyśmy sformułowali warunek tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta>0\\ x _{1}*x _{2}>0\\x _{1}+x _{2}<0 \end{cases}}\)
To wtedy nie mielibyśmy tego modułu i nie wychodziła by nieprawdziwość.
Tylko należałoby pamiętać, że w równaniu pierwotnym \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)=0}\) mamy ten moduł.

Początkowe równanie: \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)=0}\) .
Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej \(\displaystyle{ k =\left| x\right|}\) wygląda ono tak: \(\displaystyle{ -k^{2} + \left( m-3\right) k - 0,25\left( m^{2}-1\right) = 0}\) .

Wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\left| x\right|}\) tworzy się poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\) i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Trzeci warunek:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ k_{1}k_{2}>0 \\ k_{1}+k_{2} <0 \end{cases}}\)
Oznacza to, że funkcja \(\displaystyle{ f\left( k\right) = -k^{2} + \left( m-3\right) k - 0,25\left( m^{2}-1\right)}\) ma dwa ujemne miejsca zerowe. (wykres przerywany)

Zielonym wykresem zaznaczyłem to, co nas faktycznie interesuje. Jak widać, nie przecina on osi \(\displaystyle{ OX}\) wobec czego równanie \(\displaystyle{ -x^{2}+(m-3)\left| x\right|-0,25(m^{2} -1)=0}\) nie ma rozwiązań. Dlatego trzeba również ten przypadek wziąć pod uwagę podczas rozwiązywania zadania.

Dziękuję za pomoc.