Matematyka.pl

Mam podać przykład równania dwukwadratowego \(\displaystyle{ ax ^{4}+bx ^{2}+c=0}\) , które ma trzy rozwiązania. Mam przeprowadzić do tego rozumowanie uzasadniające poprawność przykładu. I tutaj nie wiem zbytnio, wiem że jeśli nie miałoby mieć rozwiązania, to wtedy \(\displaystyle{ \Delta<0}\) , jeśli jedno rozwiązanie to \(\displaystyle{ \Delta=0}\), jeśli dwa to \(\displaystyle{ \Delta>0}\) , ale jeśli trzy to na pewno będzie pierwszy warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i pewnie musi być jakiś jeszcze, ale jaki? Znam przykład takiego równania, np. \(\displaystyle{ x ^{4}-x ^{2}=0}\) , ale nie wiem jak to uzasadnić.

Wsk. Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest rozwiązaniem równania dwukwadratowego, to \(\displaystyle{ -x}\), też.

Czyli dodatkowy warunek to \(\displaystyle{ x _{1}+x_{2}=0}\)?

Czyli jeden pierwiastek musi być zerem.

Czyli po podstawieniu za równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\), gdzie \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\), rozwiązaniami takiego równania powinny być \(\displaystyle{ t _{1}=0}\) i \(\displaystyle{ t _{2} >0}\)? Ale jak to zapisać w warunku?

I te warunki wystarczą?

Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy zero, to co najmniej jedna z nich musi być zerem. Z drugiej strony wiemy, że suma tych samych dwóch liczb jest dodatnia, zatem na pewno obydwie jednocześnie zerami nie będą. Z tego wynika, że dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ t_1, t_2}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Przyjmijmy, źe \(\displaystyle{ t_1=0}\). Wtedy z warunku \(\displaystyle{ t_1+t_2>0}\) wynika, że \(\displaystyle{ t_2>0}\). Zatem tak, takie warunki wystarczą.