Podaddytywność pierwiastków kwadratowych

_anna_ · Post autor: **_anna_** » 18 paź 2006, o 21:44

Czy ktoś wie jak udowodnić, że pierwiastek kwadratowy jest funkcją podaddytywną, tzn.

sqrt (a+b)

Rzeszut · Post autor: **Rzeszut** » 18 paź 2006, o 22:07

To wynika natychmiast z nierówności HLP oraz faktów, że \(\displaystyle{ (a+b,0)\succ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ f(t)=\sqrt{t}}\) jest funkcją wklęsłą.
Można też "po ludzku": po podniesieniu obustronnine do kwadratu (obie strony nieujemne) otrzrymujemy \(\displaystyle{ a+b\leq a+b+2\sqrt{ab}}\). Ta nierówność jest trywialna, ponieważ \(\displaystyle{ 2\sqrt{ab}\geq 0}\). Oczywiście nierówność działa też dla większej liczby zmiennych.

_anna_ · Post autor: **_anna_** » 18 paź 2006, o 22:18

Bardzo Ci dziękuję Rzeszut!

Faktycznie trywialne, jak mogłam na to nie wpaść.

Jeszcze raz dziękujęi pozdrawiam,

_anna_

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 20 paź 2006, o 16:04

To wynika natychmiast z nierówności HLP...

... ;d Taki arsenal na 'wrobelka'...

Rzeszut · Post autor: **Rzeszut** » 20 paź 2006, o 16:45

To był żart z wróbelkowatości "wróbelka".