Matematyka.pl

Ile wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{4m^{2}-4}}\)? Potrzebuję tego do zadania.
EDIT: i też pierwiastek z \(\displaystyle{ \sqrt{4m^{2}+1}}\) Sorry, to do jednego zadania.

Co przez to rozumiesz No tyle wynosi, ile jest napisane. Podaj treść zadania, to coś poradzimy.

Dla jakich wartości m równanie \(\displaystyle{ -x^{2}+(2m-1)x+m=0}\) ma 2 pierwiastki, które różnią się o co najmniej 4? No i wzór na różnicę pierwiastków to bodajże \(\displaystyle{ \left| \frac{ \sqrt{ \delta } }{a} \right|}\), więc muszę wiedzieć, jak wygląda ten pierwiastek. Nie wiem, czy dobry pierwiastek napisałam, czy mi znowu źle delta wyszła... Nieważne. Trzeba policzyć pierwiastek.

Można to trochę ominąć, jeśli się jest sprytnym lub doświadczonym (ja to drugie, sprytu mam tyle, co dębowa ława):
\(\displaystyle{ (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\), toteż
\(\displaystyle{ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2}}\), a to możesz wyrazić dzięki wzorom Viete'a. No i jeszcze wyróżnik obliczyć i sprawdzić, kiedy jest dodatni.
Chociaż w sumie pewnie na jedno wyjdzie. Otrzymasz układ nierówności kwadratowych zmiennej \(\displaystyle{ m}\), z których jedno będzie wynikało z warunku \(\displaystyle{ \Delta>0}\), a drugi z \(\displaystyle{ \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2}>4}\) w terminach wzorów Viete'a.

A nie łatwiej jest podnieść obie strony do kwadratu? XD
Niepotrzebnie zrobiłam wątek wystarczyło spotęgować obie strony...
Ej, a jak sprawdzić, czy oba pierwiastki są większe od \(\displaystyle{ -1}\)? Chodzi o drugi podpunkt w zadaniu

To że \(\displaystyle{ x_1>-1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2>-1}\) jest równoważne temu, że jednocześnie zachodzą nierówności \(\displaystyle{ x_1+x_2>-2}\) i \(\displaystyle{ (x_1+1)(x_2+1)>0}\).

O ile pamiętam w szkołach jest praktykowane też takie podejście odnoszące się bardziej do geometrycznych intuicji. Wyobraź sobie jak wyglądać będzie wykres takiej funkcji kwadratowej. Na pewno przebija oś odciętych na prawo od \(\displaystyle{ -1}\). Zatem jeżeli współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest dodatni, to \(\displaystyle{ f(-1)>0}\), a jeżeli ujemny, to \(\displaystyle{ f(-1)<0}\). Ponadto pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji musi być większa od \(\displaystyle{ -1}\).