Matematyka.pl

Wyznacz wartość \(\displaystyle{ m}\) tak, aby pierwiastki \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania spełniały warunek: \(\displaystyle{ x_1^{2}x_2+ x_1x_2^{2} < 0}\)

\(\displaystyle{ x^{2} + mx + 2m - 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0 \Rightarrow m^{2}-8m+12 > 0 \\
\Delta = 16 \\
\sqrt{\Delta}=4 \\
x_1=2 \\
x_2=6}\)

\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty;2 \right) \cup \left( 6: \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ x_1^{2}x_2+ x_1x_2^{2} < 0 \Rightarrow x_1x_2 \left( x_1+x_2 \right) >0 \Rightarrow \left( 2m-3 \right) \left( -m \right) <0\Rightarrow\\
\Rightarrow -2m^{2}+3m< 0 \Rightarrow 2m^{2}-3m >0 \Rightarrow 2m \left( m- \frac{3}{2} \right) >0\Rightarrow \\
\Rightarrow m \in \left( - \infty;0 \right) \cup \left( \frac{3}{2}; \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty;0 \right) \cup \left( \frac{3}{2}; \2 \right) \cup \left( 6; \infty \right)}\)

Czy wszystko jest tutaj okej założenia, wynik, zapis i czy przy wyciąganiu miejsc zerowych tak jak tutaj zawsze powinno zmienić się znak tak, aby pozbyć się minusa ? Czy to jest zbędne

Rozwiązanie jest poprawne, ale zapis jest totalnie do bani.

\(\displaystyle{ x^{2} + mx + 2m - 3 = 0 \\ \Delta > 0 \Rightarrow m^{2}-8m+12 > 0 \\ \Delta = 16 \\ \sqrt{\Delta}=4 \\ x1=2 \\ x2=6 \\ m \in (- \infty;2) \cup (6: \infty )}\)

Bezsensowne jest oznaczenie delty delty jako \(\displaystyle{ \Delta}\). Prowadzi to do nieścisłości. Z jednej strony \(\displaystyle{ \Delta=m^2-8m+12}\), a z drugiej \(\displaystyle{ \Delta=16}\). Z tego wynikałby kompletny nonsens. Najlepiej deltę delty oznaczyć jako \(\displaystyle{ \Delta_m}\) - wtedy będzie to wyglądało czytelniej.

Poza tym z jakiej racji zapisujesz \(\displaystyle{ x_1=2}\) i \(\displaystyle{ x_2=6}\)? To są miejsca zerowe delty, czyli wielomianu \(\displaystyle{ W(m)=m^2-8m+12}\), a nie wyjściowego równania, zatem lepiej napisać \(\displaystyle{ m_1=2}\) i \(\displaystyle{ m_2=6}\).

czy przy wyciąganiu miejsc zerowych tak jak tutaj ,zawsze powinno zmienić się znak tak ,aby pozbyć się minusa ?

Jeśli chcesz, to możesz tak robić, ale moim zdaniem jest to zbędne. Mamy nierówność \(\displaystyle{ -m(2m-3)<0}\). Wykresem jej lewej strony jest parabola z ramionami skierowanymi w dół przecinająca oś Ox w punktach \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (\frac{3}{2},0)}\). Możesz sobie ją narysować i z rysunku bez problemu odczytasz rozwiązanie nierówności.

Raczej \(\displaystyle{ m\in\left(-\infty, 0 \right) \cup \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \cup \left( 6, +\infty\right)}\)

Krodinor, dziękuję, rzeczywiście. Z rozpędu wkradł mi się błąd rachunkowy.

Czyli zadanie dobrze wykonane ,lecz pozostają błędy w zapisie ,powodujące nieścisłości .

Zgadza się. Radzę uważać na takie rzeczy - wydaje mi się, że na sprawdzianie/egzaminie takie rozwiązanie zostałoby bardzo pocięte (mimo, że poprawnie myślałeś).

Dziękuje ,za cenne uwagi ,to dopiero moje początki z matmą , myślę ,że będzie lepiej

dawo0 pisze:\(\displaystyle{ x_1^{2}x_2+ x_1x_2^{2} < 0 \Rightarrow x_1x_2 \left( x_1+x_2 \right) >0 \Rightarrow \left( 2m-3 \right) \left( -m \right) <0\Rightarrow\\
\Rightarrow -2m^{2}+3m< 0 \Rightarrow 2m^{2}-3m >0 \Rightarrow 2m \left( m- \frac{3}{2} \right) >0\Rightarrow \\
\Rightarrow m \in \left( - \infty;0 \right) \cup \left( \frac{3}{2}; \infty \right)}\)

Tutaj niepotrzebnie starasz się, żeby zapis wyglądał "mądrzej" i używasz symbolu implikacji, który jest w tym kontekście niepoprawny, oznacza mianowicie, że wnioskujesz z tego, co masz uzyskać, czyli otrzymujesz (formalnie rzecz biorąc) jedynie warunek konieczny. Poprawnie powinny być równoważności, a najlepiej w ogóle nie używać symboli logicznych, których znaczenia nie do końca się rozumie i pisać po prostu przekształcenia jedno pod drugim (jak dodamy jeszcze na początku komentarz "Przekształcamy równoważnie", to już w ogóle będzie full wypas...).

JK