Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie
\(\displaystyle{ mx^{2}-(m-3)x+1=0}\)
ma różne pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ |x_{1}|+|x_{2}| \le 1}\)?

Czy jest jakiś prosty sposób na przekształcenie tej nierówności?
Próbowałem obliczyć te pierwiastki i wstawić je do nierówności, a potem rozpatrywać przypadki, ale jest to jakieś karkołomne.

Może robię gdzieś jaki głupi błąd, ale przyszło mi do głowy coś takiego. Spróbujmy od razu rozpatrywać przypadki w warunku : \(\displaystyle{ |x_1|+|x_2|\leq 1}\).
\(\displaystyle{ 1) x_1+x_2\leq 1 \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2\geq 0 \quad\wedge\quad x_1+x_2 \geq 0\\
2) x_1+x_2\geq -1 \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2\geq 0 \quad\wedge\quad x_1+x_2 <0\\
3) |x_1-x_2| \leq 1 \quad\wedge\quad x_1\cdot x_2 <0}\)
Warunki te opisują wszystkie możliwości rozpisania wartości bezwzględnych z zadanego warunku, a to kiedy \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) są większe bądź równe zero, czy mniejsze, czy mają różne znaki zostało zakodowane przez dodatkowe warunki z użyciem wzorów Viete'a.
Dwa pierwsze prosto jest policzyć. Co do trzeciego mamy:
\(\displaystyle{ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1\cdot x_2}}\)
Do tego oczywiście standardowe warunki na istnienie dwóch różnych pierwiastków równania kwadratowego.
Dalej trzeba się trochę naliczyć, ale chyba mniej niż wyliczając wprost \(\displaystyle{ x_1, x_2}\). Jeżeli gdzieś się mylę, proszę mnie poprawić

Myślę, że prościej jest podnieść nierówność \(\displaystyle{ |x_{1}|+|x_{2}| \le 1}\) obustronnie do kwadratu (ze względu na nieujemność obu stron jest to przejście równoważne) i dostać

\(\displaystyle{ 1\ge \left( |x_{1}|+|x_{2}|\right)^2=x_1^2+x^2_2+2|x_1x_2|=\left( x_1+x_2\right)^2- 2x_1x_2+2|x_1x_2|=\\= \left( \frac{m-3}{m}\right)^2+2\left( \frac{1}{|m|}- \frac{1}{m} \right).}\)

Wcześniej powinniśmy sprawdzić, że \(\displaystyle{ m\in(-\infty,0)\cup (0,1)\cup(9,+\infty)}\), więc rozpatrujemy dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ m\in(-\infty,0)}\)
Wtedy mamy nierówność

\(\displaystyle{ \left( m-3\right)^2-2m\le m^2.}\)

2. \(\displaystyle{ m\in(0,1)\cup(9,+\infty)}\)
Wtedy mamy nierówność:

\(\displaystyle{ \left( m-3\right)^2\le m^2.}\)

Obie nierówności są liniowe, więc proste.

JK

Jan Kraszewski pisze:Myślę, że prościej jest podnieść nierówność \(\displaystyle{ |x_{1}|+|x_{2}| \le 1}\) obustronnie do kwadratu (ze względu na nieujemność obu stron jest to przejście równoważne)

Super rozwiązanie! W ten sposób redukuje się te bardzo nieprzyjemne przypadki!
Bardzo dziękuję.