Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) zbiór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^{2}-3x+2<0}\) zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^{2}-(3m+1)x+3>0}\)?

Naszła mnie ochota na zabawę z takimi oto zadaniami. Prosiłabym o sprawdzenie, ponieważ wyszło mi coś dosyć dziwnego. Najpierw proszę o weryfikację, czy warunki, które rozpisałam są poprawne.

Zbiór rozwiązań pierwszej nierówności to \(\displaystyle{ x \in (1,2)}\). Skoro ma się on zawierać w zbiorze rozwiązań drugiej nierówności to, zbiór rozwiązań drugiej nierówności opsiują poniższe arunki. Możemy rozpatrzyć trzy przypadki:
1) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(1)<0 \\ f(2)<0 \\ \frac{-b}{2a} <0 \end{cases}}\) - w przypadku gdy funkcja kwadratowa ma dwa różne pierwiastki
2) \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = 0 \\ x_{0}<1 \vee x_{0}>2 \end{cases}}\) - gdy funkcja kwadratowa ma jeden pierwiastek, nie może on należeć do zbioru \(\displaystyle{ (1,2)}\)
3) \(\displaystyle{ \Delta <0}\) - gdy rozwiązaniem drugiej nierównosci są wszystkie liczby rzeczywiste

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(1)<0 \\ f(2)<0 \\ \frac{-b}{2a} <0 \\ \end}\)
Czwarty warunek jest zbędny. Mając dwa pierwiastki i dodatni współczynnik kierunkowy, to na pewno wierzchołek leży pod osią \(\displaystyle{ OX.}\)

A nie uważasz, że nierówności powinny być w drugą stronę?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(1)\geq 0 \\ f(2)\geq 0\\ \end}\)
To wynika wprost z rysunku funkcji.

Co do drugiego przypadku: może być również równość.

squared, dziękuję!

W pierwszym przypadku rzeczywiście czwarty warunek jest zbędny. Myślę,że byłby on konieczny, gdybyśmy nie wiedzieli, czy współczynnik kierunkowy jest dodatni. Co do zmiany stron nierówności, to też już rozumiem dlaczego. Źle sobie narysowałam. Oba pierwiastki muszą leżeć albo na lewo od przedziału \(\displaystyle{ (1,2)}\) albo na prawo, stąd \(\displaystyle{ f(1) \ge 0 \wedge f(2) \ge 0}\) .

Co do drugiego przypadku, to nie rozumiem, co chciałeś powiedzieć przez słowa, że może być również równość. Możesz wyjaśnić?

W 2 tak może być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = 0 \\ x_{0}\leq1 \vee x_{0}\geq 2 \end{cases}}\)

Tzn. nic nie szkodzi, by pierwiastek tego trójmianu był równy jedynce lub dwójce.