Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ \left| x^{2}-9\right| +\left| x^{2}-16\right| =m}\) ma dwa rozwiązania?
Zrobiłam tak że \(\displaystyle{ \left| x^{2}-9\right| =m-\left| x^{2}-16\right|}\) i narysowałam, jednak doprowadziło mnie to do błędnego wnionsku, w jaki sposób do tego podejść? Odpowiedź to \(\displaystyle{ m \in \left( 25 ; \infty \right)}\)

Narysuj wykres lewej strony, tj. \(\displaystyle{ f(x) = \left| x^{2}-9\right| +\left| x^{2}-16\right|}\). Dwa rozwiązania będą wtedy, kiedy prosta równoległa do osi OX \(\displaystyle{ y = m}\) będzie przecinać funkcję \(\displaystyle{ f}\) w dokładnie dwóch punktach.

W takim razie inne pytanie, czy aby narysować ten wykres trzeba rozpatrzeć wszystkie przedziały? Zastanawiałam się czy niema innej metody.

Jako, że \(\displaystyle{ x^{2} = \left( -x\right)^{2}}\), wiemy, że przedziały \(\displaystyle{ \left( - \infty ; -4\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 4 ; + \infty \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle -4 ; - 3\right\rangle}\) i \(\displaystyle{ \left\langle 3 ; 4\right\rangle}\) wyplują Nam te same wyniki. W tym drugim wypadku będziemy mieć do czynienia z funkcją stałą, co Nas nie interesuje. Ponadto dla \(\displaystyle{ x \in \left( -3 ; 3\right)}\) mamy funkcję \(\displaystyle{ g(x) = -2x^{2} + 25}\) i dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; -4 \right) \cup \left( 4 ; + \infty \right)}\) postać \(\displaystyle{ h(x) = 2x^{2} - 25}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ g(x) = g(-x)}\) i \(\displaystyle{ h(x) = h(-x)}\). Zbiorem wartości \(\displaystyle{ g}\) jest \(\displaystyle{ \left( 7 ; 25\right\rangle}\) , a \(\displaystyle{ h}\) jest przedział \(\displaystyle{ \left( 7 ; + \infty \right)}\), stąd jedyny interesujący Nas przedział to \(\displaystyle{ f \setminus g}\) ( w przeciwnym wypadku i jedna funkcja i druga miałaby w przedziale \(\displaystyle{ \left( 7 ; 25 \right)}\) po dwa rozwiązania i dla \(\displaystyle{ m = 25}\) łącznie \(\displaystyle{ 3}\), ponieważ dla \(\displaystyle{ 0 = x = - x}\) funkcja \(\displaystyle{ g}\) ma jedno rozwiązanie ), tj. \(\displaystyle{ \left( 25 ; + \infty\right)}\).

Zrozumiałam, bardzo dziękuję za odpowiedź.