Matematyka.pl

Dzień dobry.

Mam taką nierówność: \(\displaystyle{ x + \sqrt{x ^{2} + 1} > 0}\)

Nie pamiętam, jak to ugryźć. Mnożenie przez sprzężenie chyba nie ma sensu. Ale nie jestem pewien. Proszę o pomoc.

Dzięki.
Michał

Raczej przedstaw ją jako
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + 1} > -x.}\)
Zastanów się, co się dzieje gdy prawa strona jest ujemna. W drugim przypadku - podnosimy obustronnie do kwadratu.

Aha, czyli:

\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} + 1} > -x \\
x < 0 \Rightarrow x ^{2} + 1 > x ^{2} \Rightarrow x \in \left( - \infty ; 0\right) \\
x = 0 \Rightarrow 1 > 0 \Rightarrow x = 0 \\
x > 0 \Rightarrow x ^{2} + 1 < x ^{2} \Rightarrow \mbox{ fałsz}}\)

A więc \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ; 0 \right)}\)

Zgadza się?

nie. Może rzeczywiście zacznij od tego sprzężenia.
dostaniesz:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}>0 \Leftrightarrow x-\sqrt{x^2+1} <0}\)

\(\displaystyle{ x < \sqrt{x^2+1}}\)

dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) stronami do kwadratu i mamy \(\displaystyle{ x^2<x^2+1}\) czyli forever dobrze.

dla \(\displaystyle{ x<0}\) także forever dobrze bo \(\displaystyle{ x<0<\sqrt{x^2+1}}\)

Aha. A gdzie był błąd w moim rozumowaniu?

w twoim wypadku mając przypadek \(\displaystyle{ x>0}\) nie mozesz podnosic stronami do kwadratu bo po jednej stronie masz liczbę dodatnia apo drugiej ujemną.

lub \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2} + 1} + x > \sqrt{x^{2}} + x = |x| + x \ge 0}\), stąd \(\displaystyle{ x \in R}\)

Aha. Doczytałem trochę, ale mam pytanie do podnoszenia stronami: czyli nierówność można podnosić stronami do kwadratu, jeżeli obie strony są dodatnie, tak?

Dzięki.
Michał

tak

MichalProg pisze:czyli nierówność można podnosić stronami do kwadratu, jeżeli obie strony są dodatnie, tak?

A nawet nieujemne...

JK

Jan Kraszewski pisze:

MichalProg pisze:czyli nierówność można podnosić stronami do kwadratu, jeżeli obie strony są dodatnie, tak?

A nawet nieujemne...

JK

Jak ujemne, to też można, tylko trzeba znak zmienić.

a4karo pisze:Jak ujemne, to też można, tylko trzeba znak zmienić.

Ale obie strony ujemne.

JK