Matematyka.pl

hmm... może:
sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1)-sqrt(6x+6y+6z)>=0
dalej zpotęgować i dokończyć...
nie mam 100% pewności czy dobrze, ale chyba tak...

niestety to nie jest takie proste, spotęgować to nie znaczy pozbyć się pierwiastków w tym wypadku

nie!!!!!!!!!! Po co? Mamy:

sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1) >= sqrt(6x+6y+6z)

Zgodnie z nierówności pomiędzy średnimi:

sqrt(x^2+1) + sqrt(y^2+1) + sqrt(z^2+1) >=

3sqrt[6]((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))

Po podnieniesieniu nierówności do 6 potęgi:

3^6*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))>=(6x+6y+6z)^3 =>

3^3*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1))>=(2x+2y+2z)^3 =>

3^3*((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)/8)>=(x+y+z)^3 =>

sqrt[3]((x^2+1)/2*(y^2+1)/2*(z^2+1)/2))>=(x+y+z)/3 = sqrt(x^2*1)*sqrt(y^2*1)*sqrt(z^2*1)

Ostatnia nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności G[A] >=A[G], którą można znaleźć w "Kółku matematycznym dla Olimpijczyków". Zatem odwracając rozumowanie, mamy tezę...