Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których nierówność \(\displaystyle{ x^2 +4 \mid x-a \mid - a^2 \geq 0}\) jest spełniona dla wszystkich rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\).

Podstawmy \(\displaystyle{ t=x-a}\). Nierówność przyjmuje wówczas formę
\(\displaystyle{ t^2+2at+4|t|\ge 0}\)
Niezależnie od wartości \(\displaystyle{ a}\) widzimy, że dla \(\displaystyle{ t=0}\) zachodzi równość, a dalej musi być spełniony taki układ warunków:
1) \(\displaystyle{ t+2a+4\ge 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\) dodatnich;
2) \(\displaystyle{ -t-2a+4\ge 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\) ujemnych.

Co do 1), to funkcja \(\displaystyle{ y(t)=t+2a+4}\) jest rosnąca, więc musi być (i to wystarcza) \(\displaystyle{ y(0)=2a+4 \ge 0}\). Gdyby bowiem było \(\displaystyle{ 2a+4<0}\), to ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}y(t)=2a+4}\), znaleźlibyśmy \(\displaystyle{ t_0>0}\) takie, że \(\displaystyle{ y(t_0)<0}\).
Podobnie z 2), jako że funkcja \(\displaystyle{ z(t)=-t-2a+4}\) jest malejąca, to musi być \(\displaystyle{ z(0)=-2a+4\ge 0}\). Zatem \(\displaystyle{ a \in [-2,2]}\).

Super! Nigdy bym nie wpadła na takie podejście.