Matematyka.pl

Wykaż, że dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2 - ab}{2x-a-b}}\) nie leży między liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Niech \(\displaystyle{ a<b}\).
Mamy więc:

\(\displaystyle{ a < \frac{x^2 - ab}{2x-a-b}< b}\)
Z nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{x^2 - ab}{2x-a-b} - b < 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{(x-b)^2}{2x-a-b} < 0}\) wynika, że mianownik musi być ujemny

Z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{x^2 - ab}{2x-a-b} - a > 0}\)
więc też:
\(\displaystyle{ 0<\frac{(x-a)^2}{2x-a-b}}\), wynika natomiast, że jest on dodatni, co prowadzi do sprzeczności

Oczywiście w świetle tych równoważnych przekształceń przypadki \(\displaystyle{ x = a \vee x = b}\) są oczywistym nonsensem.