Matematyka.pl

Hej,
mógłby mi ktoś pomóc w wyznaczeniu funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f(x) = x^{2} - 2x}\) w przedziale
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;0\rangle}\)

na razie robiłem
\(\displaystyle{ y = x^{2} - 2x \\
y = (x-1)^{2} - 1 \\
y - 1 = (x-1) ^{2} \\
\sqrt{y-1} = \left|x-1 \right|}\)
to w tej dziedzinie:
\(\displaystyle{ \sqrt{y-1} = 1 - x \\
x = 1 - \sqrt{y-1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y = 1 - \sqrt{x-1}}\)
Ale to mi się wszystko nie zgadza, bo wtedy pod pierwiastkiem będą liczby ujemne

Popełniłeś błąd rachunkowy. Z tego:

\(\displaystyle{ y = (x-1)^{2} - 1}\)

powinieneś dostać \(\displaystyle{ y+1=(x-1)^2}\), a nie to, co niżej napisałeś.

Oo dzięki Reszta rozumiem dobrze?
Dzięki wielkie!

Tak, poza tym OK.

A jak formalnie zapisać, że funkcja jest w ogóle odwracalna?

tomashek94 pisze:A jak formalnie zapisać, że funkcja jest w ogóle odwracalna?

A zapis "Funkcja jest odwracalna" jest za mało formalny?

Doprecyzuj, o co Ci chodzi.

JK

Jak pan profesor na kolokwium daje zadanie, które zaczyna się od "zbadać, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{2} - 2x}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;0\rangle}\)ma funkcję odwrotną na tym przedzale" to chyba zdanie "funkcja jest odwracalna" to może być za mało.

Sprawdź, czy funkcja jest na tym przedziale różnowartościowa, jeśli tak, to jest bijekcją na obraz, więc istnieje do niej odwrotna.

No tyle to ja wiem, że musi być bijekcją ale nie umiem tego zapisywać. Może znacie jakieś podręczniki, w których to jest przystępnie pokazane na przykładzie (sprawdzanie czy funkcja jest bijekcją)

W dość prosty sposób jest to opisane w książce Jana Kraszewskiego „Wstęp do matematyki", ale jej chyba nie ma w necie.

Można próbować (to jest różnowartościowość akurat, ale jak pisałem, funkcja różnowartościowa jest bijekcją między dziedziną a obrazem tej funkcji) pokazać taką implikację (\(\displaystyle{ D}\) to dziedzina funkcji, którą rozważamy):
\(\displaystyle{ (\forall x_1, x_2\in D)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)}\),
a jeśli to nam się nie udaje, to pomyśleć nad kontrprzykładem (bo oczywiście nie musi nam zawsze wyjść funkcja różnowartościowa). Jak funkcja jest różniczkowalna, to często pomaga zbadanie pochodnej (funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa), poza tym jeśli funkcja jest na tyle „prosta" (nie chodzi koniecznie o funkcje proste z teorii miary, tylko np. funkcję wielomianową, logarytmiczną, jakiś przesunięty czy ściśnięty sinus itd.)), że można bez problemu naszkicować fragment jej wykresu, to też dobrze to zrobić (oczywiście wykres sam w sobie, bez komentarza, nie stanowi dowodu, ale może nam bardzo pomóc w analizie sytuacji).

tomashek94 pisze:Jak pan profesor na kolokwium daje zadanie, które zaczyna się od "zbadać, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^{2} - 2x}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;0\rangle}\)ma funkcję odwrotną na tym przedzale" to chyba zdanie "funkcja jest odwracalna" to może być za mało.

Zgadza się, ale nie tak sformułowałeś zadanie oraz pytanie do niego, więc nie było jasne, co masz na myśli...

JK