Matematyka.pl

Mam wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) , dla których dziedziną funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt{(m ^{2}+m-6)x^{2}+(m-2)x+4} }}\)
Wiem jak to zrobić, ale mam pytanie do jednego z założenia. Jedno z nich jest takie, że \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c>0}\) . W tym wypadku \(\displaystyle{ c}\) jest dodatnie, więc uwzględnia się to założenie, ale co jeśli \(\displaystyle{ c}\) byłoby ujemne? Wtedy musiałoby być założenie \(\displaystyle{ a+b>c}\) ? Nie do końca to rozumiem. Rozumiem, że trzeba wprowadzić wszystkie założenia, które potwierdzają otrzymanie wyniku \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c>0}\) .

No to jakbyś miał tam np: \(\displaystyle{ -4}\) zamiast \(\displaystyle{ 4}\) , to dla \(\displaystyle{ m = 2}\) wyrażenie pod pierwiastkiem byłoby ujemne, więc nie miałoby sensu. Dlatego na pewno \(\displaystyle{ m = 2}\) nie byłoby wśród poszukiwanych wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) .

Więc jak by się zmieniło wtedy założenie?

I mam jeszcze pytanie dlaczego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być równe zero? Przecież równie dobrze mogłyby być oba większe bądź rowne zero, a \(\displaystyle{ c}\) nadal dodatnie i spełniałoby to nierówność większości od zera. Nie powinno być założenie \(\displaystyle{ a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ b \ge 0}\) i \(\displaystyle{ c>0}\) ?

No to popatrz na to rozsądnie, kiedy to ma sens. Nie wiem co Ty cały czas z tymi założeniami.
- Dla funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i jest już ogarnięte.
- Dla \(\displaystyle{ a = 0}\) widzisz, że \(\displaystyle{ m\in\{-3, 2\}}\) . Jak podstawisz \(\displaystyle{ m = -3}\) to widać że ta funkcja liniowa ma wartości w \(\displaystyle{ \RR}\) więc odpada. Jak podstawisz \(\displaystyle{ m = 2}\) to funkcja redukuje się do wartości stałej spełniającej założenia wiec jest Ok.
- Dla \(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0}\) jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ m = 2}\) zbadane wcześniej.

Ja chcę tylko to zrozumieć. Po prostu chcę wiedzieć jakie trzeba by było podać założenie na początku, gdyby \(\displaystyle{ c}\) było ujemne. Jak już pisałem wcześniej - wiem jak zrobić to zadanie, ale nie do końca rozumiem założeń, które trzeba podać, tzn. tutaj akurat rozumiem, dlatego chodzi mi tylko o to ujemne \(\displaystyle{ c}\) . Robiąc to zadanie stosuję się do założeń, przykładowo tutaj jest to, które podałem na początku i jeszcze jedno, które mówi, że \(\displaystyle{ \Delta<0}\) (bo funkcja nie może mieć miejsca zerowego). Potem podstawiam sobie za deltę to co otrzymałem z obliczeń i wychodzi mi jakiś przedział parametru \(\displaystyle{ m}\) . Następnie biorę drugi warunek, (który podałem na początku) podstawiam pod niego odpowiednie wyrażenia i znowu otrzymuję przedział. Na końcu sumuję przedziały i mam rozwiązanie. Taki jest mój sposób, dlatego chce wiedzieć do jakiego założenia miałbym się stosować, gdyby \(\displaystyle{ c}\) było ujemne. Nie chcę innego sposobu.

Ja bym powiedział bardziej przypadki niż założenia. Poza tym chyba nie czytasz tego co piszę. Jeśli masz np: \(\displaystyle{ c = -4}\) , to wtedy widzisz że dla \(\displaystyle{ m = 2}\) wyrażenie nie ma sensu i nie uwzględniasz tego przypadku w końcowym rozwiązaniu. Cały proces napisałem w poprzednim poście, wystarczy że zmienisz wnioski. Schodzisz od najwyższego stopnia wielomianu do najniższego.

Jmoriarty pisze:Robiąc to zadanie stosuję się do założeń, przykładowo tutaj jest to, które podałem na początku i jeszcze jedno, które mówi, że \(\displaystyle{ \Delta<0}\) (bo funkcja nie może mieć miejsca zerowego).

Dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) musi być nie tylko \(\displaystyle{ \Delta<0}\) ale także \(\displaystyle{ a > 0}\) (bo inaczej wartości funkcji kwadratowej mogły by być ujemne).

Jmoriarty pisze:Taki jest mój sposób, dlatego chce wiedzieć do jakiego założenia miałbym się stosować, gdyby \(\displaystyle{ c}\) było ujemne.

No i to jest właśnie nie tylko Twój sposób, ale i Twój problem. Zamiast zastanowić się logicznie co tam powinno być, próbujesz wszystko wepchnąć w schematy.

Igor V pisze:Ja bym powiedział bardziej przypadki niż założenia. Poza tym chyba nie czytasz tego co piszę. Jeśli masz np: \(\displaystyle{ c = -4}\) to wtedy widzisz że dla \(\displaystyle{ m = 2}\) wyrażenie nie ma sensu i nie uwzględniasz tego przypadku w końcowym rozwiązaniu. Cały proces napisałem w poprzednim poście, wystarczy że zmienisz wnioski. Schodzisz od najwyższego stopnia wielomianu do najniższego.

Tak szczerze to nawet nie wiem jeszcze co to są wielomiany. Wiem to, ale nie chce po prostu patrzeć, bo mogę czegoś nie zauważyć, chcę to wszystko mieć napisane, o czym zaraz napiszę.

Igor V pisze:Dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) musi być nie tylko \(\displaystyle{ \Delta<0}\) ale także \(\displaystyle{ a > 0}\) (bo inaczej wartości funkcji kwadratowej byłby ujemne).

Tak wiem, zapomniałem dopisać.

Igor V pisze:No i to jest właśnie nie tylko Twój sposób ale i Twój problem. Zamiast zastanowić się logicznie co tam powinno być, próbujesz wszystko wepchnąć w schematy.

Nie powiedziałbym, że to jest problem. Schemat jest dobry, ponieważ wystarczy tylko zastanowić się logicznie przy ustanawianiu warunków, a potem tylko lecieć algebraicznie. Nad tym czy to coś pasuję, tak, przemyślę, ale wykorzystam to jedynie do sprawdzenia tego co mi wychodzi z danych obliczeń. Rozumiem, że widzę co jest dobrze i co mogę odrzucić, ale jeśli robię sposobem, którego uczę się w szkolę, to robię dokładnie tak. Dlatego po prostu w przykładzie z minusem bym się chyba zaciął, bo nie wiedziałbym jak zbudować warunek dotyczący ujemności \(\displaystyle{ c}\) . Co powinno być w takim wypadku zamiast założenia \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c>0}\) ? Tylko o to mi chodzi.

Jmoriarty pisze:Tak szczerze to nawet nie wiem jeszcze co to są wielomiany. Wiem to, ale nie chce po prostu patrzeć, bo mogę czegoś nie zauważyć, chcę to wszystko mieć napisane, o czym zaraz napiszę.

Tam nie można czegoś nie zauważyć. Sprawdzasz po prostu przypadki szczególne \(\displaystyle{ m}\) kiedy \(\displaystyle{ a = 0}\) .

Jmoriarty pisze:Nie powiedziałbym, że to jest problem.

A ja bym powiedział że jednak jest, sądząc po tym że napisałeś zadanie w którym masz z nim kłopot.

Jmoriarty pisze:Schemat jest dobry, ponieważ wystarczy tylko zastanowić się logicznie przy ustanawianiu warunków, a potem tylko lecieć algebraicznie.

Jmoriarty pisze:Dlatego po prostu w przykładzie z minusem bym się chyba zaciął, bo nie wiedziałbym jak zbudować warunek dotyczący ujemności \(\displaystyle{ c}\) .

Aha...

Jmoriarty pisze:Co powinno być w takim wypadku zamiast założenia \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b=0}\) i \(\displaystyle{ c>0}\) ? Tylko o to mi chodzi.

To nie jest założenie tylko jeden z przypadków, który może zachodzić lub nie (owszem zakładasz co do postaci \(\displaystyle{ a,b,c}\) ale to nie o to chodzi).
Jeśli \(\displaystyle{ a = 0}\) i \(\displaystyle{ b = 0}\) to \(\displaystyle{ c > 0}\) .
Zauważ, że takim gmatwaniem co robisz może kiedyś się okazać, że rozważasz przypadki które były już wcześniej pokryte przez inne warunki.

Igor V pisze:A ja bym powiedział że jednak jest, sądząc po tym że napisałeś zadanie w którym masz z nim kłopot.

Napisałem też, że dopiero się uczę tego sposobu. To że go nie umiem nie znaczy że jest zły.

Igor V pisze:To nie jest założenie tylko jeden z przypadków, który może zachodzić lub nie (owszem zakładasz co do postaci \(\displaystyle{ a,b,c}\) ale to nie o to chodzi).
Jeśli \(\displaystyle{ a = 0}\) i \(\displaystyle{ b = 0}\) to \(\displaystyle{ c > 0}\) .
Zauważ, że takim gmatwaniem co robisz może kiedyś się okazać, że rozważasz przypadki które były już wcześniej pokryte przez inne warunki.

Dlaczego "może zachodzić lub nie"? Jeśli mam podane konkretne \(\displaystyle{ c}\) , to mogę stworzyć warunek, który mówi jakie musi być \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , żeby prawdziwa była nierówność \(\displaystyle{ ax ^{2}+bx+c>0}\) . Przepraszam, że tak gmatwam, ale chcę dojść w końcu do porozumienia i dowiedzieć się to czego chciałem.

Jmoriarty pisze:Napisałem też, że dopiero się uczę tego sposobu. To że go nie umiem nie znaczy że jest zły.

Nie powiedziałem, że jest zły, tylko że to okuwanie czegoś mega prostego w jakieś schematy, które tylko mieszają w głowie, oraz że takim podejściem możesz przez pomyłkę zacząć rozważać przypadki, które już były pokryte. Jaki masz problem żeby sprawdzić co się dzieje dla szczególnych wartości \(\displaystyle{ m}\), gdy \(\displaystyle{ a = 0}\) ?
Nie wierzę że tego nie rozumiesz.

Jmoriarty pisze:Dlaczego "może zachodzić lub nie"? Jeśli mam podane konkretne \(\displaystyle{ c}\) , to mogę stworzyć warunek, który mówi jakie musi być \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , żeby prawdziwa była nierówność \(\displaystyle{ ax ^{2}+bx+c>0}\) .

Ale Ty nie napisałeś, że masz konkretne \(\displaystyle{ c}\) tylko że konkretne są \(\displaystyle{ a,b = 0}\) .
Po to idziesz od najwyższej potęgi, bo jak Ci się ona zeruje to spada stopień i schodzisz np: z funkcji kwadratowej na liniową. Ale jak Ci się wyzeruje np: \(\displaystyle{ b}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) to nadal masz funkcję kwadratową, więc pokrywasz te przypadki. A Ty w ogóle od drugiej strony zaczynasz.

Przemyślałem to i chyba w końcu zrozumiałem. Dziękuję za pomoc.