Dla jakich wartości k wielomiany

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 20:10

Witam. Chodzi mi o metodę rozwiązania. Otóż są dwa wielomiany
\(\displaystyle{ x^{2}+(4-k)x-2k-3}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x-k-9}\)
Dla jakich wartości k wielomiany mają jeden wspólny pierwiastek. Znajdź ten pierwiastek i pozostałe pierwiastki tych wielomianów. Zacząłem od delt i potem rozpisałem jakie mogą być pierwiastki, ale nic z tego nie wychodzi

Premislav · Post autor: **Premislav** » 6 gru 2018, o 20:41

Zamiast zaczynać od delt, odejmij jeden wielomian od drugiego i otrzymane wyrażenie przyrównaj do zera, gdyż ich ewentualny wspólny pierwiastek musi także zerować ich różnicę (to jest warunek konieczny, lecz nie warunek dostateczny, acz wiele już do sprawdzenia nie zostanie).

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 6 gru 2018, o 20:48

Brawo, Premislav. Choć Twój pomysł jest oczywisty, sam bym na to nie wpadł.

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 20:53

Tak zrobiłem i wyszło mi \(\displaystyle{ k=6}\)
Tylko, że wtedy te wielomiany nie mają wspólnego pierwiastka

Post autor: **Zahion** » 6 gru 2018, o 21:00

Przecież te wielomiany wtedy są równe...

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 21:03

A nie, źle zrobiłem. Teraz poprawnie i wyszło mi \(\displaystyle{ 2,25}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 6 gru 2018, o 21:10

U238 pisze:Teraz poprawnie i wyszło mi \(\displaystyle{ 2,25}\)

Ale co to jest \(\displaystyle{ 2,25}\) ?

JK

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 6 gru 2018, o 21:16

dla \(\displaystyle{ k=-6}\) otrzymujemy wielomiany

\(\displaystyle{ x^2+10x+9=(x+1)(x+9)}\)

\(\displaystyle{ x^2-2x-3=(x+1)(x-3)}\)

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 21:32

To \(\displaystyle{ k=2,25}\)

Post autor: **Zahion** » 6 gru 2018, o 21:37

A skąd to \(\displaystyle{ k}\) ? Jakie / Jaki wspólne / wspólny pierwiastki / pierwiastek wtedy mają te wielomiany?
Wskazówka Premislav daje wyniki \(\displaystyle{ k = \pm 6}\), przy czym dla \(\displaystyle{ k = 6}\) mamy dwa pierwiastki wspólne.

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 22:30

No dobra, źle zrobiłem znowu. Ale jak sie odejmie, to zostanie wyrażenie \(\displaystyle{ -kx+6x-k+6}\)
Jeśli to ma być równe zero, to końcowe równanie \(\displaystyle{ \frac{6-k}{-(k-6)}=0}\)
No bo miejsce zerowe funkcji liniowej

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 6 gru 2018, o 22:35

ten warunek możesz zapisać tak :

\(\displaystyle{ (6-k)x=k-6}\)

i jeżeli \(\displaystyle{ k \neq 6}\) to \(\displaystyle{ x= \frac{k-6}{6-k}=-1}\)

dalej rachunki są proste

U238 · Post autor: **U238** » 6 gru 2018, o 22:40

A, czyli trzeba kombinowac, a nie do najprostszej postaci? Bo wtedy nic nie wychodzi

Post autor: **Jan Kraszewski** » 6 gru 2018, o 22:54

U238 pisze:A, czyli trzeba kombinowac, a nie do najprostszej postaci? Bo wtedy nic nie wychodzi

Nie jestem pewny czy wiemy, co masz na myśli.

JK

Matematyka.pl