Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu na brzegu koła.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{3n}}{8^n(n+i)}}\). Wiem, że\(\displaystyle{ |z|<2}\), co się dzieje dla \(\displaystyle{ |z|=2}\), bo zastosowanie kryterium Cauchy'ego i d'Alemberta nie rozwiązuje problemu, podobnie z zbieżności bezwzględnej. Może ktoś pomóc?

Gdy \(\displaystyle{ |z|=2}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ z=2(cos varphi+isin varphi), varphiin[0,2pi)}\), a wówczas
\(\displaystyle{ z^{3n}=8^n\left( \cos(3n\varphi)+i\sin(3n\varphi)\right)}\) i pozostaje nam szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(3n\varphi)+i\sin(3n\varphi)}{n+i}\\= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\cos(3n\varphi)+\sin(3n\varphi)}{n^2+1}+i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\sin(3n\varphi)-\cos(3n\varphi)}{n^2+1}}\)
a ten ostatni szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi części rzeczywistych i części urojonych, czyli
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\cos(3n\varphi)+\sin(3n\varphi)}{n^2+1}\\\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\sin(3n\varphi)-\cos(3n\varphi)}{n^2+1}}\)

A to po kolejnym rozbiciu już dalej w sposób trywialny idzie z kryterium Dirichleta
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} e^{3in\varphi}=e^{3i\varphi}\cdot \frac{e^{3iN \varphi}-1}{e^{3i\varphi} -1}}\)
dla \(\displaystyle{ 3\varphi \neq 2k\pi}\)
i korzystając ze wzoru Eulera można dzięki temu łatwo wyznaczyć
\(\displaystyle{ \mathrm{Re}\left( \sum_{n=1}^{N} e^{3in\varphi}\right) = \sum_{n=1}^{N} \cos(3n\varphi)\\\mathrm{Im}\left( \sum_{n=1}^{N} e^{3in\varphi}\right) = \sum_{n=1}^{N} \sin(3n\varphi)}\)

No i uwaga na ten przypadek gdy \(\displaystyle{ e^{3i\varphi}=1}\)