Matematyka.pl

Wyznaczyć liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ z \in\CC :z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0,\Re z>0\right\}}\).

No to rysuję to z zasady argumentu. Obrazem osi urojonej będzie krzywa leżąca w prawej półpłaszczyźnie-zero razy okrążająca punkt zero, a , że mamy sprawdzić ile pierwiastków ma dodatnie części rzeczywiste, to trzeba kąt \(\displaystyle{ \pi}\) podnieść do najwyższej potęgi wielomianu czyli pomnożyć przez \(\displaystyle{ 5}\) czyli z tego wynika, że zrobimy łącznie \(\displaystyle{ 3}\) pełne obroty. To by oznaczało, że ten wielomian ma trzy pierwiastki o dodatniej części rzeczywistej, a w rzeczywistości ma tylko dwa.

Gdzie robię błąd?

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\clip (-4, -4) rectangle (5, 4);

\draw[-{stealth}] (-3, 0) -- (3, 0);
\draw[-{stealth}] (0, -3) -- (0, 3);

\node[below right] at (0,0){$0$};
\foreach \i in {-30, -15, 15, 30}
{
\draw (\i/15, 0.1) -- (\i/15, 0) node[below]{$\i$};
};
\foreach \i in {-30, -15, 15, 30}
{
\draw (0.1, \i/15) -- (0, \i/15) node[left]{$\i i$};
};

\draw [domain=-2:2, samples=200, smooth, variable=\t, color=black!30!green, thick] plot ({(1-\t*\t+\t*\t*\t*\t)/15}, {\t/15*(1-\t*\t+\t*\t*\t*\t)});

\draw [domain=-1.57:1.57, samples=200, smooth, variable=\t, color=black!30!blue, thick] plot ({( 1 - 64 * cos( 6 * \t r ) - 2 * cos( \t r ) + 128 * cos( 5 * \t r ) ) / ( 5 - 4 * cos( \t r ) ) / 15}, { ( 2 * sin( \t r ) - 64 * sin( 6 * \t r ) + 128 * sin( 5 * \t r ) ) / ( 5 - 4 * cos( \t r ) ) / 15});

\end{tikzpicture}}\)

Zielony fragment to obraz dostatecznie długiego odcinka osi urojonej, a niebieski to obraz półokręgu o tych samych końcach zawartego w prawej półpłaszczyźnie. Z rysunku widać, że przejście w kierunku dodatnim po zielonym fragmencie powoduje przyrost argumentu o około \(\displaystyle{ - \pi}\), a przejście po niebieskim fragmencie powoduje przyrost argumentu o około \(\displaystyle{ 5 \pi}\), czyli razem \(\displaystyle{ 4 \pi}\), co oznacza dwa pierwiastki.

Rozwiązania równania to wierzchołki sześciokąta foremnego \(\displaystyle{ z^6-1=0}\) za wyjątkiem wierzchołka \(\displaystyle{ z=1}\). W prawej połowie plaszczyzny leżą dwa z nich. I

Dasio jesteś wielki. Dziękuję.