Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(z)= \frac{z}{e^z}}\) dla \(\displaystyle{ z\in \CC}\).
a)Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ w \in K\left( 0, \frac{1}{e} \right)}\) równanie \(\displaystyle{ f(z)=w}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
b)Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa na kole \(\displaystyle{ K(0,e)}\).

Jak zrobić a)?

max123321 pisze:a)Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ w \in K\left( 0, \frac{1}{e} \right)}\) równanie \(\displaystyle{ f(z)=w}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ \CC}\) ? Wygląda na nieprawdę. Może chodzi o dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ K(0, 1)}\) ?

Jeśli tak, to przypomnij sobie (jeśli go widziałeś) dowód faktu, że jeśli \(\displaystyle{ z_0}\) jest zerem \(\displaystyle{ p}\)-krotnym różnicy \(\displaystyle{ f(z) - f(z_0)}\), to funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) jest \(\displaystyle{ p}\)-krotna w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ z_0}\). Wystarczy powtórzyć ten dowód dla konkretnej funkcji \(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{e^z}}\) i kół \(\displaystyle{ |z| < 1}\), \(\displaystyle{ |w| < \frac{1}{e}}\).

Tak chyba dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ \CC}\). Coś jest z tym zadaniem nie tak, zostawmy, to. A jak zrobić b)?

Można to wywnioskować z faktu, że \(\displaystyle{ f'(1) = 0}\), albo stwierdzając, że \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotna w otoczeniu \(\displaystyle{ 1}\), albo patrząc na wykres \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2]}\).

Aha no faktycznie jak pochodna wynosi zero w jakimś punkcie to w otoczeniu tego punktu muszą być jakieś punkty dla których wartości są te same. A można tu podać jakieś konkretne dwa punkty dla których funkcja przyjmuje te same wartości?