Matematyka.pl

Proszę o pomoc w wyznaczeniu postaci funkcji \(\displaystyle{ F(a,b): \RR^{2} \rightarrow \RR}\)
dla której spełnione jest równanie

\(\displaystyle{ F(a,b)= \frac{1}{F(b,a)}}\)

Wiem, że rozwiązaniem tego równania jest funkcja

\(\displaystyle{ F(a,b)= \frac{G(a)}{G(b)}}\),

gdzie \(\displaystyle{ G(a): \RR \rightarrow \RR}\)

ale nie wiem
1. jak to udowodnić?
2. czy jest to jedyne rozwiązanie?

Liczę na pomoc

Udowodnić jest raczej łatwo wystarczy rozpisać\(\displaystyle{ F\left( a,b\right)=\frac{G\left( a\right) }{G\left( b\right)}= \frac{1}{\frac{G\left( b\right) }{G\left( a\right)}}= \frac{1}{F\left( b,a\right)}}\),ale jeśli chodzi o jedyność to nie mam pomysłów

To rozwiązanie jest błędne (w sensie że nie wszystkie rozwiązania są tej postaci), np. spełnia to równanie funkcja stała równa \(\displaystyle{ -1}\), zaś rozwiązania typu \(\displaystyle{ \frac{G(a)}{G(b)}}\) przyjmują zawsze \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ a=b}\).

Zauważ, że określenie funkcji dla \(\displaystyle{ a>b}\) wystarcza do okreslenia funkcji dla \(\displaystyle{ a<b}\). Zaranów się, czym musi być \(\displaystyle{ F(a,a)}\)

"matt950806" dziękuję za uwagę, ale pierwsze pytanie sformułowałem niewłaściwie. Miało brzmieć inaczej:
1. jak to wyprowadzić? (a nie "jaj to udowodnić?")

Dziękuję "Wysublimowany_Nick" za uwagę, że rozwiązaniem równania jest także \(\displaystyle{ F(a,a)=-1}\)

Można to wykazać, tak

\(\displaystyle{ F(a,a)= \frac{1}{F(a,a)}}\), więc

\(\displaystyle{ F ^{2} (a,a)= 1}\), więc

\(\displaystyle{ F(a,a)= 1 \vee F(a,a)= -1}\)

Nie mogłem zrozumieć "a4karo" tego co napisałeś. Sformułowanie "zauważ" jest mało precyzyjne. W końcu się jednak domyśliłem.

Jeżeli dla \(\displaystyle{ a>b}\) mamy \(\displaystyle{ F(a,b)=G(a,b)}\) i znamy \(\displaystyle{ G(a,b)}\), to ponieważ \(\displaystyle{ F(a,b)=G(a,b)= \frac{1}{F(b,a)}}\), więc

\(\displaystyle{ b<a \Rightarrow F(b,a)=\frac{1}{G(a,b)}}\)

-- 13 lip 2015, o 11:50 --

Zadanie jest ciągle nie rozwiązane -- 29 lip 2015, o 22:53 --Istnieje ogólniejsze rozwiązanie:
\(\displaystyle{ F(a,b)= \frac{G(a,b)}{G(b,a)}}\),
czyli zmienne nie muszą być rozdzielone

Czy istnieją rozwiązania o innej postaci?