Oblicz sumę szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+a^2},a>0}\).
Jak to zrobić?
Oblicz sumę szeregu
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Oblicz sumę szeregu
Z twierdzenia o residuach dla szeregów wynika że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k\underbrace{\frac{1}{k^2+a^2}}_{f(k)}=- \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \frac{\pi f(z)}{\sin\left( \pi z\right) } \right\}}\)
Zatem residua liczymy w \(\displaystyle{ \pm ai}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \frac{\pi f(z)}{\sin\left( \pi z\right) } \right\}=\lim_{z \to ai} \frac{\pi \left( z-ai\right) }{(z^2+a^2)\sin\left( \pi z\right)}+\lim_{z \to -ai} \frac{\pi \left( z+ai\right) }{(z^2+a^2)\sin\left( \pi z\right)}}\)
Te granica są łatwe do policzenia wystarczy zauważyć że \(\displaystyle{ z^2+a^2=(z-ai)(z+ai)}\) co daje ostatecznie że ich suma to \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{a \cdot \text{sh} \left( a \pi \right) }}\) zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+a^2}=\frac{ \pi }{a \cdot \text{sh} \left( a \pi \right)}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k\underbrace{\frac{1}{k^2+a^2}}_{f(k)}=- \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \frac{\pi f(z)}{\sin\left( \pi z\right) } \right\}}\)
Zatem residua liczymy w \(\displaystyle{ \pm ai}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \frac{\pi f(z)}{\sin\left( \pi z\right) } \right\}=\lim_{z \to ai} \frac{\pi \left( z-ai\right) }{(z^2+a^2)\sin\left( \pi z\right)}+\lim_{z \to -ai} \frac{\pi \left( z+ai\right) }{(z^2+a^2)\sin\left( \pi z\right)}}\)
Te granica są łatwe do policzenia wystarczy zauważyć że \(\displaystyle{ z^2+a^2=(z-ai)(z+ai)}\) co daje ostatecznie że ich suma to \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{a \cdot \text{sh} \left( a \pi \right) }}\) zatem:
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+a^2}=\frac{ \pi }{a \cdot \text{sh} \left( a \pi \right)}}\)
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz sumę szeregu
A jak brzmi twierdzenie o residuach dla szeregów, w sensie skąd jest pierwsza równość? Ja znam tylko, że przy odpowiednich założeniach \(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{}f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}\Res (f,a_k)}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1409 razy
Re: Oblicz sumę szeregu
To jest wersja całkowa. Dla szeregów jest tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{Wersja \ podstawowa}}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{Wersja \ podstawowa}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=-\infty }^{ \infty } f(n)= - \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \pi \ctg \left( \pi z\right)f(z) \right\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{Wersja \ z} \ (-1)^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=- \infty }^{ \infty } (-1)^nf(n)= - \sum_{\text{bieguny} \ f(z)}^{} \text{Res}\left\{ \frac{\pi f(z)}{\sin\left( \pi z\right) } \right\}}\)
Przy czym uwagę należy zwrócić że sumowanie odbywa się wyłącznie po biegunach \(\displaystyle{ f(z)}\).-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3422
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz sumę szeregu
No właśnie mógłby ktoś sformułować to twierdzenie z którego, się tutaj korzysta, albo ewentualnie wyprowadzić ten wzór? Podejrzewam, że to pochodzi od twierdzenia o residuach, ale nie wiem jak to wyprowadzić.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Oblicz sumę szeregu
Na szczęście w przypadku funkcji \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z^2+a^2}}\) wzór jest poprawny.
Niech \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) będzie dodatnio zorientowanym brzegiem prostokąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \pm 2n, \pm n \right)}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po pierwsze pokażemy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z = 0.}\)
Na pionowych bokach prostokąta leżą liczby postaci \(\displaystyle{ z = \frac{1}{2} \pm 2n + it}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in [-n, n]}\). Dla nich mamy
\(\displaystyle{ \sin( \pi z ) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm 2 \pi n + i \pi t \right) = \cos( i \pi t ) = \cosh( \pi t ) \ge 1}\).
Na poziomych bokach prostokąta leżą liczby postaci \(\displaystyle{ z = t \pm i n}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \RR}\). Dla nich mamy
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
|\sin( \pi z )| & = |\sin( \pi t ) \cosh( \pi n ) \pm i \cos( \pi t ) \sinh( \pi n )| \\
& = \sqrt{ \sin^2( \pi t ) \cosh^2( \pi n ) + \cos^2( \pi t ) \sinh^2( \pi n ) } \\
& \ge \sqrt{ \sin^2( \pi t ) \sinh^2( \pi n ) + \cos^2( \pi t ) + \sinh^2( \pi n ) } \\
& = \sinh( \pi n ) \ge 1.
\end{align*} $}\)
Otrzymujemy więc, że dla \(\displaystyle{ z}\) na krzywej \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) jest \(\displaystyle{ |\sin( \pi z )| \ge 1}\). Ponadto dla \(\displaystyle{ z}\) o dostatecznie dużym module mamy
\(\displaystyle{ |f(z)| = \left| \frac{1}{z^2+a^2} \right| \le \frac{2}{|z|^2}}\),
zatem dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) na krzywej \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |f(z)| \le \frac{2}{n^2},}\)
toteż
\(\displaystyle{ \left| \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z \right| \le \frac{\pi \cdot \frac{2}{n^2}}{1} \cdot \left| \Gamma_n \right| = \pi \cdot \frac{2}{n^2} \cdot 12n = \frac{24 \pi}{n}}\),
co kończy dowód pierwszej części.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po drugie zauważmy, że na mocy twierdzenia o residuach mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z}\),
gdzie \(\displaystyle{ z_k}\) są wszystkimi punktami osobliwymi funkcji \(\displaystyle{ \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )}}\) zawartymi w obszarze ograniczonym krzywą \(\displaystyle{ \Gamma_n}\). Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest dostatecznie duże, to oczywiście są to: bieguny funkcji \(\displaystyle{ f(z)}\), czyli punkty \(\displaystyle{ \pm ia}\), i zera \(\displaystyle{ \sin( \pi z )}\) zawarte wewnątrz \(\displaystyle{ \Gamma_n}\), czyli \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - 2n \le k \le \frac{1}{2} + 2n}\).
Przechodząc do granicy, dostajemy
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} + \mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} + \sum_{k \in \ZZ} \mathop{\mathrm{res}}_{z = k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = 0}\).
Dla przypomnienia: dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ f, g}\) holomorficznych w otoczeniu \(\displaystyle{ z_0}\), jeśli \(\displaystyle{ f(z_0) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ z_0}\) jest zerem jednokrotnym \(\displaystyle{ g(z)}\), to
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_0} \, \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}}\).
Wszystkie wypisane wcześniej punkty osobliwe są jednokrotnymi biegunami, zatem
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \frac{\pi f(k)}{\pi \cos( \pi k )} = \frac{(-1)^k}{k^2 + a^2}}\)
oraz, jak wyliczono wcześniej,
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} }{z^2+a^2} = \frac{\frac{\pi}{\sin(-i \pi a)}}{-2ia} = -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} \\[1ex]
\mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} }{z^2+a^2} = \frac{\frac{\pi}{\sin(i \pi a)}}{2ia} = -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)}.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2 + a^2} = - \left( -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} - \frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} \right) = \frac{\pi}{a \sinh( \pi a)}}\).
Widać też, że powyższa metoda uogólnia się na dowolną funkcję \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{p(z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ p(z)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ \ge 2}\), a zatem i dla takich funkcji wzór jest poprawny.
Niech \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) będzie dodatnio zorientowanym brzegiem prostokąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \pm 2n, \pm n \right)}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po pierwsze pokażemy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z = 0.}\)
Na pionowych bokach prostokąta leżą liczby postaci \(\displaystyle{ z = \frac{1}{2} \pm 2n + it}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in [-n, n]}\). Dla nich mamy
\(\displaystyle{ \sin( \pi z ) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \pm 2 \pi n + i \pi t \right) = \cos( i \pi t ) = \cosh( \pi t ) \ge 1}\).
Na poziomych bokach prostokąta leżą liczby postaci \(\displaystyle{ z = t \pm i n}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \RR}\). Dla nich mamy
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
|\sin( \pi z )| & = |\sin( \pi t ) \cosh( \pi n ) \pm i \cos( \pi t ) \sinh( \pi n )| \\
& = \sqrt{ \sin^2( \pi t ) \cosh^2( \pi n ) + \cos^2( \pi t ) \sinh^2( \pi n ) } \\
& \ge \sqrt{ \sin^2( \pi t ) \sinh^2( \pi n ) + \cos^2( \pi t ) + \sinh^2( \pi n ) } \\
& = \sinh( \pi n ) \ge 1.
\end{align*} $}\)
Otrzymujemy więc, że dla \(\displaystyle{ z}\) na krzywej \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) jest \(\displaystyle{ |\sin( \pi z )| \ge 1}\). Ponadto dla \(\displaystyle{ z}\) o dostatecznie dużym module mamy
\(\displaystyle{ |f(z)| = \left| \frac{1}{z^2+a^2} \right| \le \frac{2}{|z|^2}}\),
zatem dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) na krzywej \(\displaystyle{ \Gamma_n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ |f(z)| \le \frac{2}{n^2},}\)
toteż
\(\displaystyle{ \left| \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z \right| \le \frac{\pi \cdot \frac{2}{n^2}}{1} \cdot \left| \Gamma_n \right| = \pi \cdot \frac{2}{n^2} \cdot 12n = \frac{24 \pi}{n}}\),
co kończy dowód pierwszej części.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po drugie zauważmy, że na mocy twierdzenia o residuach mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{\Gamma_n} \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} \, \dd z}\),
gdzie \(\displaystyle{ z_k}\) są wszystkimi punktami osobliwymi funkcji \(\displaystyle{ \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )}}\) zawartymi w obszarze ograniczonym krzywą \(\displaystyle{ \Gamma_n}\). Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest dostatecznie duże, to oczywiście są to: bieguny funkcji \(\displaystyle{ f(z)}\), czyli punkty \(\displaystyle{ \pm ia}\), i zera \(\displaystyle{ \sin( \pi z )}\) zawarte wewnątrz \(\displaystyle{ \Gamma_n}\), czyli \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), takie że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - 2n \le k \le \frac{1}{2} + 2n}\).
Przechodząc do granicy, dostajemy
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} + \mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} + \sum_{k \in \ZZ} \mathop{\mathrm{res}}_{z = k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = 0}\).
Dla przypomnienia: dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ f, g}\) holomorficznych w otoczeniu \(\displaystyle{ z_0}\), jeśli \(\displaystyle{ f(z_0) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ z_0}\) jest zerem jednokrotnym \(\displaystyle{ g(z)}\), to
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_0} \, \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}}\).
Wszystkie wypisane wcześniej punkty osobliwe są jednokrotnymi biegunami, zatem
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = k} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \frac{\pi f(k)}{\pi \cos( \pi k )} = \frac{(-1)^k}{k^2 + a^2}}\)
oraz, jak wyliczono wcześniej,
\(\displaystyle{ \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \mathop{\mathrm{res}}_{z = -ia} \, \frac{ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} }{z^2+a^2} = \frac{\frac{\pi}{\sin(-i \pi a)}}{-2ia} = -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} \\[1ex]
\mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{\pi f(z)}{\sin( \pi z )} = \mathop{\mathrm{res}}_{z = ia} \, \frac{ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} }{z^2+a^2} = \frac{\frac{\pi}{\sin(i \pi a)}}{2ia} = -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)}.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2 + a^2} = - \left( -\frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} - \frac{\pi}{2a \sinh( \pi a)} \right) = \frac{\pi}{a \sinh( \pi a)}}\).
Widać też, że powyższa metoda uogólnia się na dowolną funkcję \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{p(z)}}\), gdzie \(\displaystyle{ p(z)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ \ge 2}\), a zatem i dla takich funkcji wzór jest poprawny.