Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P=\left\{ z\in\CC z|<1,\Im z>0\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza kontur będący dodatnio zorientowanym brzegiem \(\displaystyle{ P}\). Oblicz całkę:

\(\displaystyle{ \int_{C}^{}(\overline{z})^2dz}\).

Jak to zrobić? Czy to będzie tak, że całka z funkcji holomorficznej po krzywej zamkniętej jest równa zero?

Funkcja podcałkowa nie jest holomorficzna, ale całka wygląda na łatwą do obliczenia ręcznie.

\(\displaystyle{ \gamma_1 : [-1, 1] \to \CC, \ \gamma_1(t) = t \\
\gamma_2 : [0, \pi] \to \CC, \ \gamma_2(t) = e^{it} \\
\int \limits_C (\overline{z})^2 \, \dd z = \int \limits_{\gamma_1} (\overline{z})^2 \, \dd z + \int \limits_{\gamma_2} (\overline{z})^2 \, \dd z = \ldots}\)

Tak racja:
\(\displaystyle{ \int \limits_C (\overline{z})^2 \, \dd z = \int \limits_{\gamma_1} (\overline{z})^2 \, \dd z + \int \limits_{\gamma_2} (\overline{z})^2 \, \dd z = \int_{-1}^{1}t^2dt+\int_{0}^{\pi}(e^{-it})^2ie^{it}dt=t^3/3|_{-1}^1+i \int_{0}^{\pi}e^{-it}dt=2/3-1 \cdot e^{-it}|_0^{\pi}=2/3+2=2 \frac{2}{3}}\)
, zgadza się?

Tak.