Matematyka.pl

Proszę o pomoc w zadaniu z dylatacji czasu.

Mezon \(\displaystyle{ \pi ^{0}}\) był wytworzony w jądrze atomu. Jak szybko powinien się poruszać, aby opuścić w czasie \(\displaystyle{ t_{1/2}=2 \cdot 10^{-16}s}\) atom i pokonać drogę \(\displaystyle{ s_{1}= 10^{-5}m}\) oraz drogę \(\displaystyle{ s_{2}=1m}\)? Przyjąć średnicę atomu \(\displaystyle{ 10^{-10}m}\).

Mam wzór \(\displaystyle{ \Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\}\).
Ile wynosi w tym wypadku \(\displaystyle{ \Delta t'}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta t}\)? Dziękuję za wskazówkę.

\(\displaystyle{ \Delta t}\) to w tym przypadku czas jaki zmierzy pion, czyli \(\displaystyle{ t_{1/2}}\), natomiast \(\displaystyle{ \Delta t'}\) to odpowiadający mu czas jaki zmierzy inercjalny obserwator zewnętrzny. W tym czasie \(\displaystyle{ \Delta t'}\) pion musi pokonać drogę (o ile dobrze rozumiem treść) równą średnicy atomu \(\displaystyle{ d}\) a następnie \(\displaystyle{ s_1}\) oraz osobno rozważyć drogę \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ s_2}\). Rozpatrzmy oba przypadki jednocześnie:
\(\displaystyle{ \Delta t'=\frac{d+s_i}{v}\\
\Delta t'= \frac{t_{1/2}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}\)
Przyrównujemy i wyznaczamy z tego \(\displaystyle{ v}\).