Matematyka.pl

Strumień identycznych, nietrwałych cząstek poruszających się z prędkością \(\displaystyle{ \beta _c}\) przechodzi przez dwa liczniki znajdujące się w odległości \(\displaystyle{ l}\) od siebie. Zaobserwowano, że przez pierwszy licznik przechodzi \(\displaystyle{ N_1}\) cząstek a przez drugi \(\displaystyle{ N_2 < N_1}\) cząstek. Zakładając, że ubytek liczby cząstek spowodowany jest tylko rozpadem, pokazać, że czas życia cząstek w spoczynku dany jest wzorem: \(\displaystyle{ \tau = \frac{l}{ c\sqrt{\gamma^2-1} \ln \frac{N_1}{N_2} }}\).

Jak się za to zabrać ?

1. Jak zdefiniowano czas życia cząstki? Jakie prawo rozpadu z tym związane znasz?
2. Czemu we wzorze jest \(\displaystyle{ \gamma}\)? Nie wygląda to na czynnik Lorentza.
3. Znając drogę jaką cząstki pokonują i prędkość z jaką się poruszają w układzie laboratorium jesteś w stanie wyznaczyć ile czasu im to zajęło i przetransformować to do układu w którym cząstki spoczywają. Ten przetransformowany czas to czas, który pojawia się w stosownym prawie rozpadu.

1. \(\displaystyle{ \frac{dp}{dt}= \frac{1}{\tau} \ i \ \frac{dn}{dt}=-n \frac{dp}{dt} \Rightarrow n(t) = Ce^{-t/\tau}}\) przy czym stałą C można przyjąć za \(\displaystyle{ N_1}\), mnie bardziej zastanawia przez co wyrazić \(\displaystyle{ \beta_c}\).
2. to jest czynnik Lorentza
3. przetransformowany w ten sposób: \(\displaystyle{ t' = \frac{s}{v} = \gamma\ t}\) ?

\(\displaystyle{ \beta=\frac{v}{c}}\) skąd weźmiesz \(\displaystyle{ v}\). Z treści wynika, że \(\displaystyle{ \beta}\) jest dane, więc nie widzę powodu by wyrażać wynik końcowy przez czynnik Lorentza.
Co do rozpadu:
\(\displaystyle{ N_1=N_0e^{-\frac{t_1}{\tau}},\\
N_2=N_0e^{-\frac{t_2}{\tau}}}\)
skąd \(\displaystyle{ \Delta t=t_2-t_1=\tau\ln\frac{N_1}{N_2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta t}\) to czas mierzony w układzie w którym cząstki spoczywają. Czas mierzony w układzie laboratoryjnym \(\displaystyle{ \Delta t'=\frac{l}{v}=\frac{l}{c\beta}}\). Związek między czasami jest znany: \(\displaystyle{ \Delta t'=\gamma\Delta t}\).
Związek między \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\):
\(\displaystyle{ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}}\).

Dziękuję