Matematyka.pl

Cześć, w zasadzie temat chyba powinienem umieścić w analizie, bo chyba gdzieś w liczeniu pochodnej się gubię.
Opis pacjenta:
Moim dzisiejszym pacjentem jest funkcja:
\(\displaystyle{ \psi (x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} } e ^{- \frac{m \omega x^{2} }{2 \hbar} }}\)
Pacjent się do mnie zgłosił z poważnymi objawami i wysłałem go na leczenie Hamiltonianem.
nie wiem jak zrobić daszek nad H

\(\displaystyle{ V(x)= \frac{m\omega ^{2}x ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ H\psi (x)=- \frac{\hbar}{2m} \frac{ \partial ^{2}\psi (x)}{ \partial x^{2}}- \frac{m\omega ^{2}x ^{2} \psi (x) }{2}}\)

Liczę sobie drugą pochodną mojej funkcji, z racji, że mi się symbole przed oczami mieszały to wprowadziłem sobie oznaczenie:
\(\displaystyle{ t= \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ u= \frac{m \omega }{2 \hbar} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \psi (x)}{ \partial x} =\left( te ^{-ux ^{2} }\right)'=-2tuxe^{-ux ^{2} }}\)
i ciach druga pochodna
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} \psi (x)}{ \partial x ^{2} }=4tu ^{2} x ^{2} e ^{ux ^{2} }-2tux^{2}e^{-ux^{2}}}\)
No i zaczynam tą straszną rzecz, czyli wstawiam wszystko pod równanko z Hamiltonianem
\(\displaystyle{ H\psi (x)=- \frac{\hbar}{2m}\left[ \cdot 4\left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} }\left( \frac{m \omega }{2 \hbar} } \right) ^{2} x ^{2} e ^{- \frac{m \omega x ^{2} }{2 \hbar} } }-2\left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} }\frac{m \omega }{2 \hbar} }xe^{-\frac{m \omega x ^{2} }{2 \hbar} }}\right] - \frac{m\omega ^{2}x ^{2} }{2}\left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} } e ^{- \frac{m \omega x^{2} }{2 \hbar} }}\)

Patrzę i liczę i skracam i liczę, już mnie ręce bolą od pisania, ale nie potrafię po prostu wyjść na zależność:
\(\displaystyle{ H\psi(x)= \frac{\hbar \omega}{2} \psi(x)}\)

Czy mógłby mi ktoś wskazać gdzie leży błąd?
Ps. jestem prostym inżynierem zaspakajającym swoją ciekawość, prosiłbym o nie atakowanie mnie jakimiś strasznymi twierdzeniami

naznaczony pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} \psi (x)}{ \partial x ^{2} }=4tu ^{2} x ^{2} e ^{ux ^{2} }-2tux^{2}e^{-ux^{2}}}\)

Tu jest coś za dużo kwadratów przy \(\displaystyle{ x}\), ale później tego nie masz, więc to pewnie literówka (tak jak i brak minusa w eksponensie). Bez błędów powinno to wyglądać tak: \(\displaystyle{ -2tue^{-ux^2}+4tu^2x^2e^{-ux^2}}\).
A główny problem jaki widzę, to że masz tam w hamiltonianie \(\displaystyle{ \hbar}\) zamiast \(\displaystyle{ \hbar^2}\) oraz znak minus przy potencjale. Powinno być:
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x)=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^{2}\psi (x)}{ \partial x^{2}}+ \frac{m\omega ^{2}x ^{2} \psi (x) }{2}}\).
A daszek uzyskujemy pisząc hat{H}

AiDi pisze:

naznaczony pisze: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} \psi (x)}{ \partial x ^{2} }=4tu ^{2} x ^{2} e ^{ux ^{2} }-2tux^{2}e^{-ux^{2}}}\)

Tu jest coś za dużo kwadratów przy \(\displaystyle{ x}\), ale później tego nie masz, więc to pewnie literówka (tak jak i brak minusa w eksponensie). Bez błędów powinno to wyglądać tak: \(\displaystyle{ -2tue^{-ux^2}+4tu^2x^2e^{-ux^2}}\).
A główny problem jaki widzę, to że masz tam w hamiltonianie \(\displaystyle{ \hbar}\) zamiast \(\displaystyle{ \hbar^2}\) oraz znak minus przy potencjale. Powinno być:
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x)=- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{ \partial ^{2}\psi (x)}{ \partial x^{2}}+ \frac{m\omega ^{2}x ^{2} \psi (x) }{2}}\).
A daszek uzyskujemy pisząc hat{H}

Tak, literówki, zmęczenie ze mnie wychodzi.
Dzięki za daszek
\(\displaystyle{ -2tue^{-ux^2}+4tu^2x^2e^{-ux^2}}\).
Dlaczego tak? Chodzi mi o pierwszy człon
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \psi (x)}{ \partial x} =\left( te ^{-ux ^{2} }\right)'=t \cdot e^{-ux ^{2} } \cdot \left( -ux^{2}\right)'=-2tuxe^{-ux^{2}}}\)

Aż mi słabo na samą myśl wypisywania tego od początku na kartce

No i teraz pochodna tego:
\(\displaystyle{ -2tu \left( xe^{-ux^{2}} \right) '=-2tu \left( 1\cdot e^{-ux^{2}}+x\cdot \left(-2uxe^{-ux^{2}} \right) \right) = -2tue^{-ux^2}+4tu^2x^2e^{-ux^2}}\).

Generalnie to pochodną dobrze obliczyłeś, bo dobrą wstawiłeś później do hamiltonianu, po prostu literówki miałeś wcześniej

Dzisiaj to policzyłem sobie na spokojnie, od początku, cały czas mówiąc do siebie po kolei co robię.
Pomijając wcześniejsze obliczenia zacznę już od policzonej pochodnej:
Wiedząc o tym, że:
\(\displaystyle{ t= \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar }\right) ^{ \frac{1}{4} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ u= \frac{m \omega }{2 \hbar} }}\)
\(\displaystyle{ \psi (x) =te ^{-ux ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ ....= -2tue^{-ux^2}+4tu^2x^2e^{-ux^2}=-2u \cdot te ^{-ux ^{2}}+4u^{2}x^{2} \cdot te ^{-ux ^{2}} \rightarrow -2u\psi (x) +4u^{2}x^{2}\psi (x)}\)
Wymnóżmy przez \(\displaystyle{ -\frac{\hbar^2}{2m}}\)
\(\displaystyle{ 2u \cdot \frac{\hbar^2}{2m} \psi (x) -4 \frac{\hbar^2}{2m} u^{2}x^{2}\psi (x)}\)
Po skróceniu
\(\displaystyle{ u \frac{\hbar^2}{m}\psi (x) -2 \frac{\hbar^2}{m}u^{2}x^{2}\psi (x)}\)
Teraz wrócę do h-daszkowanego nie mogłem się powstrzymać, żeby tego nie napisać : D
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x) = u \frac{\hbar^2}{m}\psi (x) -2 \frac{\hbar^2}{m}u^{2}x^{2}\psi (x) + \frac{m\omega ^{2}x ^{2} \psi (x) }{2}}\) Wyciągam moją funkcję falową przed nawias:
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x) =\psi (x) \left( u \frac{\hbar^2}{m} -2 \frac{\hbar^2}{m}u^{2}x^{2} + \frac{m\omega ^{2}x ^{2} }{2}\right)}\)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x) =\psi (x) \left( \frac{m \omega }{2 \hbar} } \frac{\hbar^2}{m} -2 \frac{\hbar^2}{m}\frac{m^{2} \omega ^{2}}{4 \hbar^{2}} }x^{2} + \frac{m\omega ^{2}x ^{2} }{2}\right)}\)
Skracam:
\(\displaystyle{ \hat{H}\psi (x) =\psi (x) \left( \frac{ \omega\hbar}{2} } -\frac{m^{2} \omega ^{2}}{2 } }x^{2} + \frac{m\omega ^{2}x ^{2} }{2}\right)}\)
O Boże, wyszło
Prawdę mówiąc przepisywałem to, bo na kartce mi nie wychodziło, ale przy przepisywaniu jakoś na bieżąco wszystkie błędy poprawiałem.
AiDi, dzięki za pomoc!
Ale mam jeszcze pytanie (jakżeby inaczej), czy jesteś w stanie mi polecić jakiś skrypt do mechaniki kwantowej? Zdaję sobie sprawę, że nie mam wystarczającej wiedzy z matematyki (algebry grup Liego, przestrzenie Hilberta i masa innych rzeczy) aby swobodnie się poruszać po tym specyficznym świecie równań i zagadek, ale chyba chyba do pewnego poziomu będę mógł się jeszcze nacieszyć ze zdobywania wiedzy z mechaniki kwantowej, języki polski/angielski i od biedy rosyjski nie byłby dla mnie straszne.

naznaczony pisze: Ale mam jeszcze pytanie (jakżeby inaczej), czy jesteś w stanie mi polecić jakiś skrypt do mechaniki kwantowej?

Niezmiennie moim ulubionym skryptem po polsku jest . Tylko pierwszy rozdział trzeba czytać z myślą o tym, że dualizm korpuskularno-falowy nie jest częścią współczesnej mechaniki kwantowej (tej stworzonej w latach 20 ubiegłego wieku i "zaczynającej się" od równania Schrödingera). Koncepcja ta jest częścią tzw. 'starej teorii kwantów' i ma wartość tylko i wyłącznie historyczną i dydaktyczną. I właściwie w tym właśnie kontekście autor ją przedstawia, tylko niestety zapomniał ten fakt podkreślić

Zdaję sobie sprawę, że nie mam wystarczającej wiedzy z matematyki (algebry grup Liego, przestrzenie Hilberta i masa innych rzeczy)

Wbrew pozorom, żeby ogarnąć podstawy to wcale wielkiej wiedzy z analizy funkcjonalnej mieć nie trzeba. Z teorii grup to właściwie żadnej. Mi nikt na wykładzie z MK I nie powiedział, że operatory momentu pędu to generatory algebry \(\displaystyle{ \mathfrak{su}(2)}\), bo na tym etapie ta wiedza była zbędna. Także spokojnie.