Matematyka.pl

Witam, dostaliśmy na kolokwium z mechaniki kwantowej zadanie, którego nie umiemy rozwiązać. Będę wdzięczna za pomoc jak je można rozwiązać.
Treść:
Cząstka jest w stanie opisanym funkcją
\(\displaystyle{ \psi(r,\theta,\phi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}(e^{i\phi}\sin \theta+\cos \theta)f(r)}\)
gdzie funkcja radialna unormowana
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}f^2(r)r^2dr=1}\)
Jakie są możliwe wyniki pomiaru \(\displaystyle{ z}\)-owej składowej momentu pędu i z jakim prawdopodobieństwem można je otrzymać? Jaka jest wartość oczekiwana rzutu momentu pędu na oś \(\displaystyle{ z}\)?
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \psi_{10}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos \theta}\)
\(\displaystyle{ \psi_{1\pm1}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}e^{\pm\phi}\sin \theta}\)

U, ze sto lat tego nie robiłem...
Kątowa część funkcji falowej dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ Y(\theta,\phi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}(e^{i\phi}\sin \theta+\cos \theta)}\).
Rozkładamy tę funkcję w bazie złożonej z podanych funkcji własnych operatora \(\displaystyle{ L_z}\):
\(\displaystyle{ Y(\theta,\phi)=a_0 \psi_{1,0}(\theta,\phi)+a_1\psi_{1,1}(\theta,\phi)+a_{-1}\psi_{1,-1}(\theta,\phi)}\).
\(\displaystyle{ |a_\imath|^2}\) to prawdopodobieństwo zmierzenia rzutu momentu pędu o wartości \(\displaystyle{ \imath \hbar}\).