Natężenie pola elektrycznego 2
-
Ewa 20
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 12:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ozimek
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 12 razy
Natężenie pola elektrycznego 2
Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości \(\displaystyle{ z}\) nad środkiem okrągłej pętli o promieniu \(\displaystyle{ r}\) naładowanej jednorodnie z gęstością liniową \(\displaystyle{ \lambda}\).
-
Tomek_Z
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Natężenie pola elektrycznego 2
Skorzystaj z równania na natężenie naładowanego pierścienia w postaci:
\(\displaystyle{ E = \frac{z \lambda (2 \pi R)}{ 4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^ { \frac{3}{2}} }}\)
\(\displaystyle{ E = \frac{z \lambda (2 \pi R)}{ 4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^ { \frac{3}{2}} }}\)
-
Tomek_Z
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Natężenie pola elektrycznego 2
No dobra, to będzie tak:
Niech ds będzie długością elementu pierścienia, wówczas \(\displaystyle{ dq = \lambda ds}\). Natężenie wytworzone przez ten ładunek w odległości r od pierścienia w punkcie P wynosi \(\displaystyle{ dE = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{ \lambda ds}{r^2}}\). Jeśli R jest promieniem pierścienia a z odległością od jego środka do punktu P to z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ r^2 = z^2+R^2}\) zatem \(\displaystyle{ dE = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{ \lambda ds}{z^2+R^2}}\). Wektor ten jest skierowany pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\) do osi z (czyli od środka pierścienia do punktu P). Ma zatem składową prostopadłą i równoległą do tej osi. Ze względu na symetrię, składowe prostopadłe wszystkich wektorów dE wyzerują się. Pozostaą zatem składowe równoległe. Natężenie w punkcie P jest ich sumą. Składowa równoległa wektora dE wynosi \(\displaystyle{ dE \cos \theta}\), ponad to \(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{z}{r} = \frac{z}{ (z^2 + R^2)^{ \frac{1}{2}}}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ dE \cos \theta = \frac{z \lambda}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } } ds}\). Teraz należy scałkować to po obwodzie od \(\displaystyle{ s=0}\)do \(\displaystyle{ s = 2 \pi R}\). Nie jest to trudne bo jedynym zmiennym elementem jest ds, resztę możemy wyłączyć przed znak całki, zatem:
\(\displaystyle{ E = t dE \cos \theta = \frac{z \lambda}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } } t_{0}^{2 \pi R} ds = \frac{z \lambda(2 \pi R)}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } }}\)
Niech ds będzie długością elementu pierścienia, wówczas \(\displaystyle{ dq = \lambda ds}\). Natężenie wytworzone przez ten ładunek w odległości r od pierścienia w punkcie P wynosi \(\displaystyle{ dE = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{ \lambda ds}{r^2}}\). Jeśli R jest promieniem pierścienia a z odległością od jego środka do punktu P to z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ r^2 = z^2+R^2}\) zatem \(\displaystyle{ dE = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{ \lambda ds}{z^2+R^2}}\). Wektor ten jest skierowany pod kątem \(\displaystyle{ \theta}\) do osi z (czyli od środka pierścienia do punktu P). Ma zatem składową prostopadłą i równoległą do tej osi. Ze względu na symetrię, składowe prostopadłe wszystkich wektorów dE wyzerują się. Pozostaą zatem składowe równoległe. Natężenie w punkcie P jest ich sumą. Składowa równoległa wektora dE wynosi \(\displaystyle{ dE \cos \theta}\), ponad to \(\displaystyle{ \cos \theta = \frac{z}{r} = \frac{z}{ (z^2 + R^2)^{ \frac{1}{2}}}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ dE \cos \theta = \frac{z \lambda}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } } ds}\). Teraz należy scałkować to po obwodzie od \(\displaystyle{ s=0}\)do \(\displaystyle{ s = 2 \pi R}\). Nie jest to trudne bo jedynym zmiennym elementem jest ds, resztę możemy wyłączyć przed znak całki, zatem:
\(\displaystyle{ E = t dE \cos \theta = \frac{z \lambda}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } } t_{0}^{2 \pi R} ds = \frac{z \lambda(2 \pi R)}{4 \pi \epsilon_0 (z^2+R^2)^{ \frac{3}{2} } }}\)