Matematyka.pl

Kasia ma następującą funkcję użyteczności \(\displaystyle{ U=b+100c - c^{2}}\) , gdzie b- to liczba tulipanów w jej ogródku a c- to liczba krzaków pomidorów. Jej ogródek ma 500 stóp kwadratowych. Każdy tulipan zajmuje 1 stopę kwadratową a jeden krzak pomidorów 4 stopy kwadratowe . Oblicz jak Kasia powinna podzielić swój ogródek pomiędzy tulipany i pomidory.


Będę wdzięczna za każde wskazówki, bo kompletnie nie wiem jak się za to zabrać..

Jeżeli dobrze zrozumialem tresc zadania, mamy funkcje
\(\displaystyle{ U(a,b)=b+100c-c^2}\)
Przy czym zgodnie z trescia zadania, rozpatrujemy \(\displaystyle{ U(a,b)\to \max}\)
z warunkami:
\(\displaystyle{ \begin{cases}b\geqslant 0\\c\geqslant 0\\b+4c\leqslant 500\end{cases}}\)
Dalej juz chyba powinna pojsc bez problemu

no tak, do tego też już później doszłam, ale jak policzyć z tego obie niewiadome? pod jedną po prostu wstawić 0 ?

zajrzyj tutaj pod haslem ekstrema warunkowe ... klad14.htm

jak jestem kiepska z ekonomii, tak teraz już nic nie rozumiem... mimo przykłądu nie umiem tego zrobić niestety, nie miałam w szkole średniej ani pochodnych ani nic...

Patrząc pod względem czysto ekonomicznym możemy to rozwiązać tak:

ograniczenie budżetowe: \(\displaystyle{ b+4c=500}\)
krzywa obojętności: \(\displaystyle{ b+100c-c^2=U}\)

Optymalnym rozwiązaniem dla Kasi jest punkt styczności ograniczenia budżetowego i krzywej obojętności, czyli spełniona musi być równość:

krańcowa stopa substytucji = stosunek "cen", w tym przypadku ilość zajmowanych metrów kwadratowych

\(\displaystyle{ MRS=db/dc=-4/1}\)
\(\displaystyle{ 2c-100=-4}\)
\(\displaystyle{ c=48, b=308}\)

Prościej mówiąc można to rozwiązać tak:
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ b+4c=500}\) - żeby cały teren był zajęty
\(\displaystyle{ b+100c-c^2=U}\)

U to użyteczność, zadowolenie, czyli chcemy aby było jak największe.

Podstawmy jeden wzór pod drugi i dostaniemy:

\(\displaystyle{ U=b+100c-c^2=500+96c-c^2}\)

Czyli mamy jakąś parabolę ze współczynnikiem kierunkowym ujemnym, czyli ramionami opadającą w dół. Jej największa wartość będzie w wierzchołku paraboli, czyli ze wzorów na wierzchołek, mamy że:

\(\displaystyle{ c=96/2=48}\)
i z pierwszego równania
\(\displaystyle{ b=308}\).

Mam nadzieję, że w miarę zrozumiałe.