Matematyka.pl

Potrzebuje przekonujących racji zastosowania liczb zespolonych w fizyce. Ja spotkałem liczby zespolone w nauce o drganiach - Feynman uzasadniał ich użycie łatwością obliczeń równań różniczkowych, tzn. pisał że równania ruchu można rozwiązywać bez użycia liczb zespolonych ale z ich pomocą jest to dużo prostsze. Czy na tym się kończy i rola tzn. czy w fizyce używamy ich z podobnych względów jak w matematyce ( do rozwiązywania równań )?. Jasnym jest że liczby zespolone zawierają w sobie liczby rzeczywiste w tzw. części rzeczywistej i zawsze daną wielkość fizyczną skalar można przedstawić jako liczbę zespoloną kładąc przy tym tylko założenie, że wartość przedstawia jedynie część rzeczywistą tej liczby, ale czy przypisujemy części urojonej znaczenie fizyczne? Na to pytanie odpowiedź znam tak, ale cóż z tego tak. Jak to wygląda w praktyce i jakie to ma zalety? czy może jest to alternatywnie wygodniejsze zastosowanie dla teorii w której one nie występują a której wynik są równoznaczne? Jutro zabieram się do szukania bliższych informacji na ten temat, ale jeżeli ktoś już posiada jakąkolwiek wiedze na ten temat prosze o podzielenie się nią.

[ Dodano: Sob Cze 11, 2005 6:00 pm ]
Widze, że strasznie ludzi to interesuje tym samym świadczy to o ich podejściu do nauki fizyki i pewnie innych nauk. Pisałem wyżej, że spróbuje czegoś poszukać na temat liczb zespolonych w fizyce i spotkałem je w dwóch książkach z fizyki elementarnej tuż przed nauką o drganiach a związku z zagadnieniem równań różniczkowych liniowych. Rzeczywiście o wiele łatwiej się je rozwiązuje przy użyciu liczb zespolonych jest tylko jeden warunek! musimy domyśleć się rozwiązania, najlepiej jeśli będzie ono funkcją harmoniczną. Wtedy można próbowac je zinterpretować geometrycznie na płaszczyznie zespolonej. Myśle że i część urojona szczególnie w zagadnieniach rezonansu przedstawia sens fizyczny w szególnych przypadkach, ale to na drodze według mnie przypadku.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prędkość, przyspieszenie, czas, droga, temperatura, energia, etc. z mechaniki wielkości fizyczne którym przypisany jest sens, a które mówią nam o czymś.
>>>>bolek biegnie z prędkością 20 km/s, lolek biegnie za nim z prędkością 40 km/s
>> bolek biegnie z prędkościa 20 +bi km/s lolek biegnie za nim z prędkością 40 + di km/s
W tym przypadku część urojona liczby zespolonej jest zupełnie zbędna i nie ma sensu jej stosowanie.
> bolek biegnie z prędkościa a +20i km/s lolek biegnie za nim z prędkością g + 40i km/s
Względna prędkoś h + 20i km/s. Ta prędkość jest urojona, czy zatem sam bieg był urojony innymi słowy czy on się odbiegł?. Jak narazie to nie widze innego zastosowania tych tworów.

Popracuj nad ortografią

Kropka nad ipsylonem

Poruszyłeś temat ważny, trudny, i – jak mi się wydaje – dotąd nie do końca zbadany. Oczywiście ci z matematyków, którzy L. zespolonych używają (to znaczy: niemal wszyscy ), czynią to bez żadnych oporów, i... trudno się z tym spierać. Sądzę, że na jakiekolwiek zastrzeżenia zareagowaliby pukaniem się w czoło. W dodatku: mieliby 100% racji!

Bowiem po licznych, i dramatycznych sporach, dotyczących kwestii obiektywnego żywota, bądź nie-istnienia matematycznych obiektów, przyjęto, iż wszystko co da się w matematyce wyprodukować, o ile spełnia pewne wymogi formalne, jest jakoś-tam realne.

i kropka

Natomiast tionkije prjobliemmy używania pewnych zagadkowych struktur matematycznych w badaniu (i opisywaniu!) świata fizykalnego – matematycy niefrasobliwie pozostawiają kwantowcom, tudzież filozofom. O ile jeszcze ci ostatni jakoś tam szanują spadkobierców Hilberta, to fizycy, coraz częściej widząc zmarszczone brwi matematyków – wystawili się do nich częścią ciała przeciwną, i jeszcze odwrotną... (Hm, jak się nazywa złożenie obrotu z izometrią?)

Obecnie chłopcy spod znaku , oraz ikony F – bawią się w przeciwnych końcach podwórka. Dlaczego tak? Dlatego tak – że mają odmienne zdanie o ilości, a nawet i jakości ziaren w piaskownicy... Tudzież ich przeznaczeniu. Oraz na niemal każdy inny temat.

I jeśli ktoś Ci powie, że językiem fizyki jest matematyka – to pamiętaj, że chodzi o dialekt, który ma w sobie coś z cocney’a: tego ostatniego używają londyńczycy (niektórzy), ale z językiem Shakespeare’a nie ma to wspólnego niemal nic... I rzadko którzy rodowici Brytyjczycy są w stanie pojąć choćby co drugie, wyszwargotane w cocney-u zdanie. Zaś obcokrajowiec, nawet znający angielski perfect – jest już całkiem bez szans

Mogę powiedzieć tylko jedno, odchodząc nieco od samej fizyki już w tematkę mocno prądową - jak zabierzesz się do analizy obwodów sinusoidalnie zmiennych, to dostrzerzesz piękno liczb zespolonych, bez których średnio wyobrażam sobie zaliczenie tego kolokwium, z którego dostałem szacowne 3- ... a tak ogólnie to wszystko dla ludzi - skoro można przełożyć coś na zespolone i sie nie babrać to czemu nie - przykładowo niektóre całki potrójne bez takiego chwytu jak zamiana zmiennych całkowania są praktycznie masakryczne w liczeniu, a można je takim prostym chwytem zrobić w 10 minut.

z tego co mnie kiedys uczono dawno dawno temu to trudniejsze obowdy RLC z gatunku silnie mieszanych sa nierozwiazywalne w liczbach rzeczywistych. tylko pozostaje kwestia czy to bylo powiedziane tak jako prawda permanentna czy w sensie "prosto tego na rzeczywistych zrobic sie nie da"

Z dwóch ostatnich odpowiedzi winika, że ich rola się sprowadza jednak do rozwiązywania równań w celu wyznaczenia q(t). No bo co takiego w sobie mają czego by liczby rzeczywiste nie mniały. Czyszby ten magiczny "składnik" urojony. Więc mogło by się zdarzyć że po długich obliczeniach uzyskaliśmy część rzeczywistą zamierzoną przedstawiającą rozwiązanie problemu a oprucz tego okazało by się że i część urojona bez "i" ma jakiś sens fizyczny w pewnych szczegulnych przypadkach. I tak chyba jest, pisze chyba bo osobiście tego nie doświadczyłem. Ale swoją drogą chciałbym torii którą nie rządzi przypadek, a z której wynikają te wyniki i użyteczność wybiegającą za "sposób na przejście samej drogi", a poprostu za jej rezultat czyli wynik który wykracza za liczby rzeczywiste.

Skoro wspomniałeś Maliku wielkiego Feynmana, może warto przytoczyć jeszcze jeden prezentowany przez niego sposób tłumaczenia kwestii „sensu fizycznego” jakichś elementów (najczęściej: obliczeniowych, ale nie tylko!), których interpretacja jest równie zagadkowa. R.P.F. omawia to tak (oczywiście powtarzam „z kapelusza”) :
Definiujemy sobie pewną wygodną wielkość, np. tą, którą umówiliśmy się nazywać entropią. Lub:
Istnieje jakaś użyteczna funkcja, którą potrafimy wyznaczyć. A gdy wyznaczymy, to używając jej w dalszych obliczeniach, możemy uzyskiwać pewne przewidywania. Zaś owe przewidywania – potwierdzają się później (np. w eksperymentach). To... dużo!

Lecz spytajmy Feynmana: w jakim sensie one „istnieją”?!
Otóż co najmniej w takim, że... pomagają nam w obliczeniach! I żądania, aby było to „coś jeszcze” – są być może zbyt daleko idące. Tu dodam jeszcze własny komentarz: to trochę tak, jakbyśmy uparli się zagrać w pokerka z samym Stwórcą (wszak Einstein twierdził jedynie, że „Bóg nie gra w kości”)! I manifestowalibyśmy ową chęć nie przez ostrożne pukanie w bramy niebieskie, ale wręcz je wyważali, w charakterze przepustki wymachując wyciągniętą z kieszeni wyświechtaną talią. Potem jeszcze zaczęlibyśmy przestawiać krzesła, grymasząc nad ich kształtem. Aby w końcu zażądać jakiegoś wygodnego, wyściełanego fotela...

Nauka to poniekąd takie właśnie pukanie do bram niebieskich.
Przetłuszczona talia kart – to publikacje (no, przynajmniej: pewna ich część).
Wyściełany fotel – to wygodne, sprawne, i łatwe w rozumieniu metody matematyczne.
Zaś oczekiwanie, że „zrozumiemy wszystko i do końca” – to właśnie tak, jakbyśmy uważali, że przy odpowiednich metodach – osiągniemy Wiedzę Absolutną i Boską. Która nam się „należy, jak psu kość”. I jeśli tak, to w imię Wiedzy, przy pokrytym niebieskim suknem stoliku, byśmy usiłowali wykorzystać jakąś chytrą sztuczkę, na przykład ze znaczonymi kartami. A to już byłaby jednak pewna... bezczelność.

Oczywiście, można argumentować: ależ towarzysze, Boga nie ma!

Hm, no tak, „bardzo to być może”... Lecz wtedy tym bardziej nie możemy przecież „zajrzeć Mu w karty” – prawda?

Lecz spytajmy Feynmana: w jakim sensie one „istnieją”?!
Otóż co najmniej w takim, że... pomagają nam w obliczeniach! I żądania, aby było to „coś jeszcze” – są być może zbyt daleko idące.

Entropia, Energia, pęd, ..., i inne takie funkcje istnieją, człowiek je wprowadził więc istnieją. I owszem pomagają w opisie przyrody choć by w takim sensie, że znając te funkcje, które zawsze są związane z jakimś ukłedem czy to po prostu ciałem fizycznym możemy powiedzieć coś o nim więc np. czy ma możliwość ruchu, czasami jak będzie wyglądał jego ruch i nikt tu nie żąda by najmniej od tych funkcji czegoś więcej! Egipcjanie wymyślili cegły po to rzeby budowac domy, i nie oczekiwali Oni od nich czegoś więcej. Ale co z istniejącymi funkcami mają wspólnego liczby zespolone? Funkcje jak dobrze wiem są niczym innym jak odpowiednio zdefiniowanym "zwiąskiem", "zależnością", "relacją" ( kto jak woli ) między elementami pewnych zbiorów. W fizyce funkcje takie określa się na zbiorze liczb rzeczywistych bądz jego pochodnych czyli zbiorach w nim zawartych. A moje wywody wiążą sie ze zbiorem liczb Zespolnonych, cóż się stanie jeżeli określimy takie funkcje na nim ( tylko nie myślmy - przecież l. rzeczywiste zawierają sie w l. zespolnych no to wybierzmy z pośród nich te które nam pasują i wtedy "owca cała i wilk syty", ale nie oto chodzi). Człowiek od bardzo dawna przypisywał liczbom sens fizyczny: jedna kura, dwie kury, trzy kury..., gdyby nie było kur to liczby te nie mniałby sensu fizycznego. Pózniej zauważył że kur te lubią koguty widział w tym pewną prawidłowość więc każdej kuże przypożądkował koguta tym samy nauczył się określać funkcje co pociągało za sobą dalsze implikacje. Ale już przy pierwszym kontakcie człowieka z liczbami zespolonymi pojawiły się trudności w jaki sposób nadać im sens fizyczny??? to zapewne budziło początkowo niechęć matematyków a warto dodać że zazwyczaj i fizyków do liczb zespolonych toteż ich byt związany był tylko z równaniami algebraicznymi. I chyba w tym momencie uświadamiam sobie że dopuki nie nauczymy się im nadawac sensu fizycznego to nie zrobią one karjery w fizyce poza równaniami. Myśle, że chyba temat jest wyczerpany. No chyba że znajdzie się odważny, który napisze: jedna + jedna "i" kura, jedna + dwie "i" kury, I WYTŁUMACZY NAM SENS FIZYCZNY TEGO CO NAPISAŁ, a my ludzie ciągle się uczymy i nie wykluczone że tylko zle patrzymy.

cegły - istniejące funkcje
domy - opisana przyroda

Może teraz szczypta autoironii – skorzystam tu z tekstu Czesława Nowickiego („Wicherek”), który tak parodiował Zygmunta Kałużyńskiego: „A na ten temat, to ja mam całkiem WŁASNE zdanie! Z którym zresztą zupełnie się nie zgadzam...”

Autoironia – bowiem, oczywiście, dążenie do zrozumienia „co i jak przekształcamy” w obliczeniach – jest czymś jak najbardziej cennym! Więc poprzedniego mojego głosu proszę nie rozumieć jako wotowania za „stanowczym porzuceniem prób zrozumienia” – lecz jedynie jak pewne ostrzeżenie: „tak często jest to skazane na niepowodzenia, że, aby uniknąć dramatycznych rozczarowań, i nie popadać w skrajną frustrację – musimy się opancerzyć całymi pokładami pokory”- i to naprawdę grubymi. Czyli: naprzód, ale ostrożnie, i bez pośpiechu!

Bez owej wstępnie zadanej pokory – bardzo szybko przekroczyć można próg szaleństwa... Dlatego też właśnie od niej trzeba zacząć. I dopiero tak uzbrojony może sobie fizyk powiedzieć: dopóki (ze wszystkimi stadiami pośrednimi !), nie wiem tego jak to liczę, to tak naprawdę nie mam zielonego pojęcia – co właściwie liczę.

Jeśli jednak nie będzie miał owego wewnętrznego uzbrojenia – to skończy się na tym, że raczej niewiele policzy. Albowiem postawa zbyt daleko idąca, jest zazwyczaj podejściem zgubnym. Hasło „wszystko, albo nic” – niemal zawsze kończy się – właśnie tym drugim...

[ Dodano: 18 Czerwiec 2005, 00:00 ]
Widzę, że jakoś nie uważasz, aby szerzej pojęte zagadnienie „interpretacji obliczeń” pozwalało Ci choć trochę się zbliżyć do zrozumienia kwestii liczb zespolonych? A przecież jest to ten sam problem, jedynie ujęty bardziej ogólnie...
To może spróbuj jeszcze popytać na innych forach? Zajrzyj na tudzież na grupy dyskusyjne w usenecie: lub do klubu "[url=http://niusy.onet.pl/niusy.html?t=aktualne&group=pl.sci.matematyka]pod Pi -eS-eM[/url]". (obie dostępne są również przez odpowiedni czytnik grup: program pocztowy. Warto „zaprenumerować”! ). Może na analogiczne grupy fizyczne... A najlepiej rzuć problem we wszystkie te miejsca, bowiem i tak szansa na to, abyś otrzymał zalew zadowalających odpowiedzi, jest niewielka! Mizerne ustalenia, zebrane powyżej – wskazują też, że raczej nie ma tego w zwykłych podręcznikach, czy innych, popularniejszych książkach...

Ja też się wcześniej nie zetknąłem z gotowym wyjaśnieniem, ale sprawy nie odpuszczam: I'm working about ! Ale jakoś tak mi pachnie, że "dobrego" wytłumaczenia, szerokiego i uniwersalnego, a przy tym niezbyt zawiłego - nie zna chyba nikt.

[ Dodano: 25 Lipiec 2005, 00:00 ]
Dodam jeszcze kolejną garść uwag, nt. możliwości istnienia kierdla owiec, o liczebności 5 + 3i ... Jak to usiłowałem wykazać we wcześniejszych postach – z tego typu stadami w fizyce kwantowej stykać się będziemy co i rusz. Bowiem ona niemal cała – to jedna wielka zagadka interpretacyjna, przy której przeliczanie takiego kierdla – to niemal nic. A wiesz Maliku, dlaczego kwantowcy nie dostają szmergla, prowadząc swe obliczenia, czy też, w jeszcze większym stopniu: kiedy przechodzą do interpretacji wyników? A to dlatego, że... już są mocno szurnięci! Bo chyba tylko tym można wytłumaczyć, że z niezmąconym spokojem opisują swoje owce, z których każda wbiega sobie do zagrody pięcioma furtkami naraz...

Jak pisał Boris Vien (Jesień w Pekinie ): w królestwie ślepych – jednooki królem! - więc będąc tylko trochę szalonym... ( etc. etc ) – mogę jeszcze próbować (kolejne podejście) jakoś rozgryźć ten męczący problem interpretacyjny:
Zacznijmy od liczb ujemnych. Czy wiesz, że jeszcze bodaj w XVIII wieku – matematycy nie akceptowali liczb ujemnych? No oczywiście, działania z ich użyciem były prowadzone, wykonywano zarówno odwrotność dodawania, jak też mnożono przez liczby mniejsze od zera, etc. etc. Ale „liczba ujemna” jako obiekt matematyczny, równouprawniony z liczbą naturalną? – nie do przyjęcia, nie ma czegoś takiego!
Przykłady (czy raczej: kontrprzykłady) podawano podobne: czy widział ktoś, gdzieś - kierdel liczący minus pięć owiec? To przecież bzdura, z którą poważny człowiek nawet nie będzie dyskutował...
Sytuacja zaczęła ulegać zmianie (bardzo powoli!) kiedy wymyślono wektory, tudzież wektorowe reprezentacje różnych wielkości. Siła mająca odpowiedni zwrot – mogła już być reprezentowana przez wektor, któremu przyporządkowano wartość: minus 12-cie, prawda?

Jak „działają” liczby urojone? Kiedy zachodzą problemy interpretacyjne, a kiedy nasza intuicja jest w stanie je zaakceptować? Rozpatrzmy przykład: mnożymy 5i x 3i otrzymując minus 15-cie. Najprostszą interpretacją „fizykalną” operacji mnożenia dwóch liczb – jest otrzymywanie „pola powierzchni” – prawda? No dobrze, spytasz, ale cóż u diabła miałoby sobą przedstawiać pole powierzchni... ujemne?! Czy ktoś kiedyś widział stół z ujemnym blatem?
Otóż właśnie że tak! Jeśli masz pusty pokój, o powierzchni całkowitej 14 m kw. – zaś dziś wniosłeś do niego biurko dwumetrowe – to przecież wolna powierzchnia Ci... zmalała do 12-tu metrów, czyż nie? I w takim właśnie sensie mogą pojawiać się w pewnych obliczeniach owe „niemożliwe liczby”. Jako „ujemna energia” pewnych stanów, czy takaż moc (stratność!), itd. etc. itp.
Oczywiście – dopiero po wymnożeniu, czy podniesieniu do kwadratu. A czym są przed wymnożeniem? Hm, jakąś tam „wektorową reprezentacją” wielkości, która ma takie, a nie inne cechy... Bo powiedz mi ile, przykładowo, wynosi tarcie w przypadku pudełka, które sobie spokojnie i nieruchomo spoczywa na stole, w chwili, gdy nie działają na nie żadne siły?

_ _ _

Pozdrawiam - �RaSz

Tak jak poprzednik napisał problemy interpretacyjne konstrukcji matematycznych w fizyce dotyczyły nie tylko liczb ujemnych. Jednym z najstarszych przykładów są choćby liczby niewymierne takie jak choćby długość przekątnej kwadratu o boku 1. Konstrukcja matematyczna reprezentująca zjawisko fizyczne pojawiła się w tym wypadku z rzeczywistej potrzeby, którą można łatwo zaobserwować naszymi zmysłami i zinterpretować naszymi mózgami.
Liczby urojone pojawiły się jednak jako konstrukt matematyczny - chociaż czym są w fizyce, tego nikt nie wie.
Dlatego też nazwane zostały liczbami urojonymi. A może jest to jednak kompletnie zła nazwa?

Jestem za cienki w fizyce i jednocześnie w matematyce, żeby móc to dobrze uzasadnić, ale możemy zrobić taki sam eksperyment myślowy jaki przeprowadzał choćby Einstein w jego interpretacji jak działają fotony.
Załóżmy, że liczby zespolone są prawdziwą, albo po prostu prawdziwszą interpretacją każdego wymiaru fizycznego. Załóżmy, że każde położenie, czyli także każdy wymiar w czasoprzestrzeni reprezentowany jest liczbą nie rzeczywistą, a zespoloną. Co by to oznaczało? Ano tyle, że mamy trzy ortogonalne względem siebie współrzędne zespolone dlatego bo właśnie taka jest naprawdę przestrzeń fizyczna. Do tego dochodzi czas, o którym tak naprawdę wiemy tylko tyle, że jest w jakiś sposób zależny od szybkiego przesuwania się w pozostałych wymiarach - czy jest on czwartym niezależnym wymiarem? Nie wiem. Ale już pozostałe trzy przyprawiają o ból głowy jeżeli reprezentacja zespolona jest tym co się dzieje w naszym świecie. Może fakt, że równania ruchu są o wiele łatwiejsze do wyliczenia traktując wymiary i wszystkie wartości jako liczby zespolone jest spowodowany właśnie tym, że dosłownie tak jest? Może tak po prostu jest? Może nie ma czegoś takiego jak cząstki wirtualne Hawkinga? Albo inaczej - może one wcale nie pojawiają się i nie znikają, a po prostu przemierzają sobie przez wymiary, których nawet nie potrafimy sobie wyobrazić i przecinają przestrzeń, którą interpretujemy sobie jako rzeczywistą i namacalną? Co by to oznaczało? Że jakiś obiekt - wcale niekoniecznie subatomowy - przecina rozumianą i wykrywaną przez nas przestrzeń po prostu lecąc sobie na przykład prostoliniowo przez przestrzeń zespoloną, czyli czasem rzeczywistą, czasem tę urojoną lub urojoną w jakimś wymiarze (albo wszystkich). Jak moglibyśmy to widzieć? Ano coś się pojawia, potem samo znika, pojawia się w tym samym miejscu lub innym i znowu znika - przesuwa się też prawdopodobnie w czasie. Co to by znaczyło? Ano to, że może duchy, cuda czy dotychczas niepojęte dla nas zjawiska istnieją naprawdę i są po prostu zjawiskami, które może i rzadko występują, ale są związane z zupełnie normalną zespoloną budową naszej czasoprzestrzeni?
Może te wszystkie skomplikowane obliczenia matematyczne potrzebne do dowodzenia różnych twierdzeń, to tak naprawdę droga dookoła? Bo tak jak w przypadku Kopernika (i jego uproszczenia interpretacji ruchu planet) być może istnieje prostsza interpretacja zjawisk, których nie rozumiemy, a które najwyraźniej istnieją - takich jak duchy i różne postacie UFO. Nie wiem jakie są odpowiedzi. Ale być może najważniejsze jest postawienie właściwych pytań?
A to nie koniec. Przecież w mamy też takie konstrukcje matematyczne jak choćby Kwaterniony czy Oktawy Cayleya - może na liczbach zespolonych nic się tak naprawdę nie kończy?

Olamagato pisze: 15 kwie 2021, o 04:41 Załóżmy, że liczby zespolone są prawdziwą, albo po prostu prawdziwszą interpretacją każdego wymiaru fizycznego.

Co to ma oznaczać? Wymiar rozmaitości to wymiar \(\displaystyle{ n}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) lub \(\displaystyle{ \CC^n}\) z którą lokalnie rozmaitość jest dyfeomorficzna. Czasem, ale mniej ściśle, wymiarami nazywa się niezależne od siebie "kierunki" na rozmaitości, ale te kierunki są zależne od wyboru mapy. Tak czy inaczej nie widzę tu pola do "intepretacji".

Załóżmy, że każde położenie, czyli także każdy wymiar w czasoprzestrzeni reprezentowany jest liczbą nie rzeczywistą, a zespoloną.

Czyli zastępujesz rozmaitość rzeczywistą, reprezentującą czasoprzestrzeń, rozmaitością zespoloną. Dostajesz wtedy rozmaitość rzeczywistego wymiaru \(\displaystyle{ 8}\). A my nie obserwujemy \(\displaystyle{ 8}\) wymiarów, więc trzeba znaleźć mechanizm który to powoduje. Jaki to mechanizm? Czy to ułatwia fizykę?

Może fakt, że równania ruchu są o wiele łatwiejsze do wyliczenia traktując wymiary i wszystkie wartości jako liczby zespolone jest spowodowany właśnie tym, że dosłownie tak jest?

Skąd wziąłeś ten "fakt"? Jakaś publikacja? Podręcznik? Zespolonych rozmaitości używa się szeroko w modelach kwantowej grawitacji, ale "niestety" w OTW dalej używamy rozmaitości rzeczywistych, bo zespolone niczego nie ułatwiają. Ułatwiają za to znacząco w fizyce kwantowej, ale nawet tam czasoprzestrzeń jest rozmaitością rzeczywistą.

Może nie ma czegoś takiego jak cząstki wirtualne Hawkinga?

Cząstki wirtualne nie są Hawkinga, to konstrukt używany szeroko w perturbacyjnej kwantowej teorii pola na długo przed Hawkingiem. I owszem, nie ma ich, w tym sensie w jakim 'są' cząstki rzeczywiste. To tylko nazwa na wewnętrzne linie diagramów Feynmana, nie istnieją pola ani stany z nimi związane. Poza tym, nawiązując do promieniowania Hawkinga, bo pewnie tam poznałeś cząstki wirtualne - w formalnym wyprowadzeniu tego wyniku Hawking nie używa cząstek wirtualnych, bo nie korzysta z diagramów Feynmana. Jedynie w swoich książkach popularnonaukowych tłumaczy to w ten sposób, ale jak sam przyznał, nie jest z niego zadowolony.

Albo inaczej - może one wcale nie pojawiają się i nie znikają, a po prostu przemierzają sobie przez wymiary, których nawet nie potrafimy sobie wyobrazić i przecinają przestrzeń, którą interpretujemy sobie jako rzeczywistą i namacalną?

Nie przemierzają, bo nie istnieją. Tak jak wyżej napisałem, to tylko nazwa na wewnętrzne linie diagramów Feynmana. To co z nimi zrobili autorzy książek popularnonaukowych to inna sprawa, ale o tym pisałem już kilka razy, np. tutaj: mechanika kwantowa a grawitacja - luźne rozważania

Przecież w mamy też takie konstrukcje matematyczne jak choćby Kwaterniony czy Oktawy Cayleya - może na liczbach zespolonych nic się tak naprawdę nie kończy?

Kwaterniony i oktoniony, przez swój związek z grupami spinowymi, są szeroko w fizyce cząstek elementarnych używane, głównie do konstrukcji modeli rozszerzających Model Standardowy (w lutym nawet odbyła się konferencja na temat oktonionów w Modelu Standardowym i kwantowej grawitacji: ).

Tak swoją drogą:

ale możemy zrobić taki sam eksperyment myślowy jaki przeprowadzał choćby Einstein w jego interpretacji jak działają fotony.

Nie wszystkie interpretacje Einsteina (w szczególności te z pierwszej dekady ubiegłego wieku) tego jak działają fotony zgadzają się z tym jak faktycznie działają fotony. A działają w bardzo skomplikowany sposób, np. absolutnie nie można o nich myśleć jak o małych kuleczkach które latają w przestrzeni, co czasem przejdzie dla cząstek masywnych. Dla pól bezmasowych o spinie większym lub równym 1 nie da się skonstruować operatora położenia, zatem nie ma sensu mówić ani o torze ruchu fotonu, ani nawet o tym, że 'gdzieś' on jest. Ale do stwierdzenia tego potrzebne było sformułowanie elektrodynamiki kwantowej. Z innych ciekawostek, okazuje się, że efekt fotoelektryczny da się wyjaśnić bez kwantowania pola elektromagnetycznego. Za to elektron musi być traktowany kwantowomechanicznie.