Matematyka.pl

Witam, mam do rozwiązania następujące zadanie:

Który z dwóch oscylatorów tłumionych o parametrach (współczynnik sprężystości, współczynnik oporu, masa): pierwszy \(\displaystyle{ (2k,\:r,\:m)}\) oraz drugi \(\displaystyle{ (3k,\:2r,\:4m)}\) szybciej traci energię podczas drgań?

Proszę o sprawdzenie, tak to widzę:

\(\displaystyle{ E= \frac{1}{2} k A^{2} \cdot e ^{ \frac{-b}{m} t}}\)

Zmiana energii to pochodna po czasie, czyli:

\(\displaystyle{ E= -\frac{b}{m} \cdot \frac{2}{2} k A^{2} \cdot e ^{ \frac{-b}{m} t}}\)

W moim przypadku \(\displaystyle{ b=r}\)

Zmiana energii pierwszego ciała wyszła mi: \(\displaystyle{ -r/m\cdot k}\) i w potędze \(\displaystyle{ e^\frac{-r}{m}}\)
drugiego: \(\displaystyle{ -3r/4m\cdot k}\) i w potędze \(\displaystyle{ e^\frac{-r}{2m}}\)

1) Czy to jest dobrze?
2) Który w takim razie traci energię szybciej i dlaczego?

Z góry dziękuję za pomoc.

Zauważmy, że zmiana energii oscylatora tłumionego:

\(\displaystyle{ E'(t) = -\frac{b}{m}E(t)}\)

Proszę porównać:

\(\displaystyle{ E'_{1}(t) , \ \ E'_{2}(t).}\)

Pochodna funkcji
\(\displaystyle{ \left( e ^{x} \right)'=e ^{x}}\)
\(\displaystyle{ \left( e ^{-x} \right)' =e ^{-x}(-x)'=-e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} k A^{2} \cdot e ^{ \frac{-b}{m} t}\right)'= \frac{1}{2} k A ^{2}\cdot e ^{ \frac{-b}{m} t} \cdot\left( - \frac{b}{m}\right)}\)
........................................................................
Energia oscylatora
\(\displaystyle{ E= \frac{1}{2} k A^{2} \cdot e ^{ \frac{-b}{m} t}}\)
Przyjmujemy oznaczenia;
\(\displaystyle{ \beta = \frac{b}{2m}}\)- współczynnik tłumienia, stąd
\(\displaystyle{ 2 \beta = \frac{b}{m}}\)
\(\displaystyle{ b}\) - stała tłumienia
\(\displaystyle{ A}\)-amplituda
........................
1. Zmiany energii w czasie dla parametrów oscylatora:
-\(\displaystyle{ 2k, b, m}\),
-\(\displaystyle{ 3k,2b,2m}\) ;

\(\displaystyle{ E _{1} '(t)= -k \cdot 2 \beta \cdot e ^{-2 \beta \cdot t} \cdot A ^{2}}\)

\(\displaystyle{ E _{2} '(t)=-1,5 k \cdot \beta \cdot e ^{-\beta \cdot t} \cdot A ^{2}\)

\(\displaystyle{ \qquad}\) Mamy do czynienia w obu układach z drganiami tłumionymi -ze współczynnikem tłumienia \(\displaystyle{ \beta, 2 \beta}\). Układ-y oscyluje(ą) ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą . Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu- energia drgań maleje.