Danesaga pisze: Ciało o masie \(\displaystyle{ 0,8 kg}\) jest podwieszone do pionowej sprężyny z \(\displaystyle{ k=42 \frac{N}{m}}\) i zanurzone w cieczy, która działa na ciało siłą oporu \(\displaystyle{ F(t)=-b\cdot x(t),}\) gdzie \(\displaystyle{ b=0,7 \frac{N\cdot s}{m}.}\)
Proszę wyznaczyć okres drgań tłumionych i wartość logarytmicznego dekrementu tego ruchu.
Proszę podać zależność położenia od czasu \(\displaystyle{ x(t),}\) jeśli dla \(\displaystyle{ t=0,\ \ x=0,}\) a dla \(\displaystyle{ t=1s, \ \ x=0,12m.}\)
\(\displaystyle{ m =0,8 kg}\)
\(\displaystyle{ k = 42 \frac{N}{m}}\)
\(\displaystyle{ F = -b\cdot x(t)}\)
\(\displaystyle{ b = 0,7 \frac{N\cdot s}{m}.}\)
\(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ x(1) = 0,12 m.}\)
Znaleźć
\(\displaystyle{ T}\) - okres drgań tłumionych.
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - wartość logarytmicznego dekrementu t łumienia
\(\displaystyle{ x(t)}\) - zależność położenia od czasu.
Rozwiązanie
W wielu przypadkach, gdy nie występuje suche tarcie, można uważać w pierwszym przybliżeniu, że przy nie wielkich prędkościach ruchu, siły, które wywołują zanikanie drgań, są proporcjonalne do prędkości. Te siły niezależnie od ich pochodzenia nazywamy siłami tarcia albo siłami oporu.
Zgodnie z treścią zadania:
\(\displaystyle{ F_{oporu} = F = -r\cdot v = -b \cdot x'(t) = 0,7\cdot x'(t)}\)
Znak minus wskazuje że siły oporu zawsze są skierowane przeciwnie do kierunku ruchu.
Druga zasada Newtona dla gasnących prostoliniowych drgań ciała:
\(\displaystyle{ m\cdot a = -kx - b\cdot v}}\)
Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ a = x^{''}(t), \ \ v = x'(t),}\)
i zapisanie wszystkich wyrazów po lewej stronie równania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ m \cdot x^{''}(t) +b\cdot x'(t) + k\cdot x(t) = 0}\)
lub po podzieleniu obu stron równania przez masę \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ x^{''}(t) +\frac{b}{m}\cdot x'(t) + \frac{k}{m}\cdot x(t) = 0 \ \ (1)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (1)}\) jest równaniem różniczkowym - liniowym rzędu drugiego- jednorodnym.
Z wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta}\) równania charakterystycznego dla tego równania wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{b}{2m} \leq \sqrt{\frac{k}{m}},}\) w tym przypadku warunek ten jest spełniony, bo:
\(\displaystyle{ \frac{0,7}{2\cdot 0,8} \leq \frac{42}{0,8}, \ \ 0,4375 \leq 52,5000}\)
to w wyniku rozwiązania równania różniczkowego (1), otrzymamy następującą zależność położenia ciała od czasu (opuszczam wyprowadzenie tego wzoru)
\(\displaystyle{ x(t) = A_{0}\cdot e^{-\frac{b}{2m}\cdot t}\sin(\omega_{0}\cdot t + \phi)= A\cdot e^{-\gamma t}\sin(\omega_{0}\cdot t + \phi) \ \ (2)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \omega_{0} =\sqrt{\frac{k}{m}}}\) - jest częstotliwością własną oscylatora
i
\(\displaystyle{ \gamma = \frac{b}{2m}>0}\) - współczynnikiem tłumienia.
Uwzględniając warunek początkowy i warunek brzegowy:
\(\displaystyle{ x(0) = x_{0}= 0, \ \ x(1) = 0,12}\) z równania (2) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 = A_{0}\cdot e^{-\frac{b}{2m}}\cdot 0 \sin (\omega\cdot 0 +\phi) \ \ (3)}\)
\(\displaystyle{ 0,12 = A_{0} \cdot e^{\frac{b}{2m}\cdot 1}\cdot \sin (\omega\cdot 1 + \phi) \ \ (4)}\)
Z równań \(\displaystyle{ (3), (4)}\) po podstawieniu danych wynikających z treści zadania obliczamy:
\(\displaystyle{ 0 = A_{0}e^{0}\sin(\phi) , \ \ \phi = 0}\)
\(\displaystyle{ 0,12 = A_{0}e^{-\frac{0,7}{2\cdot 0,8}\cdot 1}\cdot \sin(\omega \cdot 1)}\)
\(\displaystyle{ 0,12 = A_{0}e^{-0,4375\cdot 1}\sin(\omega) \ \ (5)}\)
Umowny okres drgań gasnących:
\(\displaystyle{ T = \frac{2\pi}{\omega}= \frac{2\pi}{\sqrt{\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)^2} -\left (\frac{b}{2m}\right)^2}}}\)
\(\displaystyle{ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{42}{0,8}- \left(\frac{0,7}{1,6}\right)^2}} \approx 0,87 s \ \ (6)}\)
Logarytmiczny dekrement tłumienia:
\(\displaystyle{ \Lambda = \ln\left(\frac{A_{n}}{A_{n+1}}\right) = \frac{b}{2m}\cdot T = \gamma\cdot T.}\)
\(\displaystyle{ \Lambda = \frac{0,7}{2\cdot 0,8}\cdot 0,87 \approx 0,38.}\)
Po podstawieniu wartości współczynnika tłumienia i okresu drgań do równania (5) obliczamy wartość amplitudy początkowej drgań \(\displaystyle{ A_{0}}\) oscylatora oraz znajdujemy równanie zależności jego położenia od czasu:
\(\displaystyle{ 0,12 = A_{0}e^{-0,4375}\sin\left(\frac{2\pi}{0,87}\right)}\)
\(\displaystyle{ A_{0}= \frac{0,12\cdot e^{0,4375}}{\sin\left(2\pi}{0,86875}\right)} \approx 0,23 m}\)
Równanie ruchu oscylatora:
\(\displaystyle{ x(t) \approx 0,23e^{- 0,44\cdot t}\cdot \sin(7,22\cdot t)}\)
